数学建模讲座(一)什么是数学建模？

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1、数学建模讲座第一讲什么是数学模型玩具、照片…~实物模型风洞中的飞机…~物理模型地图、电路图…~符号模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。我们常见的模型什么是数学模型建立数学模型你碰到过的数学模型——“航行问题”用x表示船速，y表示水速，列出方程：求解得到x=20,y=5,答：船速每小时20公里航行问题建立数学模型的基本步骤作出简化假设（船速、水速为常数）；用符号表示有关量（x,y表示船速和水速）；用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以时间）列出数学式子（二元一次方程

2、）；求解得到数学解答（x=20,y=5）；回答原问题（船速每小时20公里）。数学模型(MathematicalModel)和数学建模（MathematicalModeling)数学模型:对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学建模：建立数学模型的全过程（包括建立、求解、分析、检验）。数学建模的重要意义电子计算机的出现及飞速发展数学以空前的广度和深度向一切领域渗透数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视。数学建模计算机技术如虎添翼知识经济建模示例椅子能在不

3、平的地面上放稳？问题椅子能在不平的地面上放稳吗？1.椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点，四脚的连线呈正方形；2.地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面；3.对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子的任何位置至少有三只脚同时着地。模型假设ABCDtA‘B‘C‘D‘Ox模型构成椅脚连线为正方形ABCD(如右图)。t~椅子绕中心点O旋转角度f(t)~A,C两脚与地面距离之和g(t)~B,D两脚与地面距离之和f(t),g(t)0模型构成由假设1，f和g都是连续函数由假设3

4、，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地：对任意t，f(t)和g(t)中至少有一个为0。当t=0时,不妨设g(t)=0,f(t)>0,原题归结为证明如下的数学命题：已知f(t)和g(t)是t的连续函数,对任意t,f(t)•g(t)=0,且g(0)=0,f(0)>0。则存在t0，使f(t0)=g(t0)=0模型求解OxA‘B‘C‘D‘ABCDt最后，因为f(t)•g(t)=0，所以f(t0)=g(t0)=0。令h(t)=f(t)-g(t),则h(0)>0和h()<0，由f和g的连续性知h也是连续函数。根据连续函数的基本性质,必存在t0（0

5、0)=0，即f(t0)=g(t0)。将椅子旋转90º,对角线AC与BD互换。由g(0)=0,f(0)>0可知g()>0,f()=0建模示例商人们怎样安全过河问题(智力游戏)3名商人3名随从河小船(至多2人)随从们密约,在河的任一岸,一旦随从的人数比商人多,就杀人越货.但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?问题分析多步决策过程决策~每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员要求~在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河模型构成xk~第k次渡河前此岸的商人数yk~第k次渡河前此岸的随从数xk,yk=0,1

6、,2,3;k=1,2,sk=(xk,yk)~过程的状态S={(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}S~允许状态集合uk~第k次渡船上的商人数vk~第k次渡船上的随从数dk=(uk,vk)~决策D={(u,v)u+v=1,2}~允许决策集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,sk+1=skdk+(-1)k~状态转移律求dkD(k=1,2,n),使skS按转移律由s1=(3,3)到达sn+1=(0,0).多步决策问题模型求解xy3322110穷举法~编程上机图解法状态s=(x,y)~16个格点~10

7、个点允许决策D~移动1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.s1sn+1d1,d11给出安全渡河方案评注和思考表格化方法,易于推广考虑4名商人各带一随从的情况d1d11允许状态SS={(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}D={(u,v)u+v=1,2}背景年1625183019301960197419871999人口(亿)5102030405060世界人口增长概况中国人口增长概况年1908193319531964198219901995人口(亿)34.76710.111.312研究人口变化规律控制人口过

8、快增长建模示例如何预报人口的增长指数增长模型常用的计算公式马尔萨斯（1766--1834）提出