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《高等数学微积分第4章 第1节 中值定理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第四章中值定理与导数应用第四章中值定理与导数应用第一节中值定理第二节未定式的定值法—罗必塔法则第三节函数的增减性判别法第四节函数的极值与最值第五节曲线的凹凸性、拐点与渐近线第六节函数图形的讨论1.理解罗尔定理和拉格朗日中值定理,掌握这两个定理的简单应用;2.会用洛必塔法则求极限;3.掌握函数单调性的判别方法及其应用,4.掌握函数极值、最大值和最小值的求法,会求解较简单的应用题;6.会描绘简单函数的图形.5.会用导数判断函数图形的凹凸性,会求函数图形的拐点及渐进线本章基本要求本章重点、难点重点：导数的应用、带等式的证明.难点：带等式的证明.第一节中值定理(罗尔
2、中值定理)设函数满足下面条件:在闭区间在开区间在区间两个端点处的函数值上连续;内可导;相等,即则至少存在一点使得定理4.1证因在上连续故在上一定有最大值和最小值则从而所以对于内任一点都可取作故命题成立.则在内至少存在一点使得下证故几何意义注三个条件缺一不可.。(1)(4)(3)(2)例1验证函数在区间上满足罗尔定理全部条件,并求解在闭区间在开区间在区间两个端点处的函数值相等上连续内可导故至少存在一点使得即故题型一验证罗尔定理成立(?)(?)(?)判断连续性二.分段函数分界点用定义判断一.初等函数判断可导性(1)导数的性质(2)导函数有定义二.分段函数分界点用
3、定义判断一.初等函数有定义区间上连续例2证明方程至多有一个实根,其中为任意常数.证假设方程至少有两个不同的实根显然在上满足罗尔定理条件因此至少存在一点使得设即矛盾故命题成立.题型二判断方程的根例3不求导数,判断函数的导函数有几个实根,以及所在的范围.解在满足罗尔定理条件因此至少存在使得又为三次函数,则为二次函数,故在和内各有一个实根.有且仅有两个实根,题型三证明带的等式例4设在在上连续,内可导,则在内至少存在一点使得证设显然在上满足罗尔定理条件因此至少存在一点使得即故例5设在在上连续,内可导,且试证:在存在一点使得证设显然在上满足罗尔定理条件因此至少存在一点
4、使得即内至少故(拉格朗日中值定理)设函数满足下面条件:在闭区间在开区间上连续;内可导,则至少存在一点使得证设显然在上满足罗尔定理条件因此至少存在一点使得即定理4.2从而原式成立.几何意义等价形式定理形式分析课本中辅助函数的令法.令直线AB曲线AB思路:切线∥直线AB切线斜率=直线斜率切线斜率=直线的切线斜率故选推论1如果函数在区间内任一点的导数都等于零,则函数在内是一个常数.证任取在上满足拉格朗日定理条件因此至少存在一点使得所以故命题成立.推论2如果函数在区间都相等,则在内至多相差一个常数.内任一点的导数与证因所以即由推论1知故命题成立.题型一验证拉格朗日定
5、理成立题型二证明不等式例5证明不等式证时,不等式显然成立.时,在上满足拉格朗日条件因此至少存在一点使得故例6试证证不妨设在上满足拉格朗日定理所以至少存在一个使得即故同理可证题型三证明带的等式例7设在在上连续,内可导,则在内至少存在一点使得证设显然满足拉格朗日定理条件因此至少存在一点使得从而原式成立.例8试证明证因题型四证常数所以且在上连续则令得题型一验证拉格朗日定理成立题型二证明不等式题型四证常数题型三证明带的等式题型一验证罗尔定理成立题型二判断方程的根题型三证明带的等式罗尔定理总结拉格朗日定理(柯西中值定理)设函数满足下面条件:在闭区间在开区间上连续;内可
6、导;当时,则至少存在一点使得定理4.3误证用拉格朗日定理相除即可.证明设显然在上满足罗尔定理条件因此至少存在一点使得即亦证明设显然在上满足罗尔定理条件因此至少存在一点使得即亦证明设显然在上满足罗尔定理条件因此至少存在一点使得即从而辅助函数:题型二证明带的等式题型一验证柯西定理成立题型三双介值问题例9设在上可导,且试证:在内至少存在一点使得证明设则在上满足柯西定理条件因此至少存在一点使得从而原式成立.双介值问题例10设在在上连续,内可导,试证存在使得且证用拉格朗日定理和用柯西定理相除即可.双介值问题处理思路:(1)将和分开(2)涉及一个函数导数用拉格朗日定理涉
7、及两个函数导数的商用柯西定理(3)拉+拉柯+柯柯+拉题型二证明带的等式题型一验证柯西定理成立题型三双介值问题题型一验证拉格朗日定理成立题型二证明不等式题型四证常数题型三证明带的等式题型一验证罗尔定理成立题型二判断方程的根题型三证明带的等式罗尔定理拉格朗日定理柯西定理题型五双介值问题总结作业题习题四(A)1、2、3、4、5、6、7、8、9、10.
