第1章-概率与随机过程

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1、应用随机过程第1章概率论基础与随机过程的基本概念教师:陈萍prob123@mail.njust.edu.cn1随机过程通常被视为概率论的动态部分,在概率论中研究的随机现象,都是在概率空间上的一个或有限多个随机变量的规律性.但在实际问题中,我们还需要研究一些随机现象的发展和变化过程,即随时间不断变化的随机变量,这就是随机过程所要研究的对象.引言2课程的主要内容概率论基础与随机过程的基本概念泊松过程与更新过程马尔科夫链鞅与Brown运动随机微分方程3参考书陈萍等编，随机数学，国防工业出版社，2008林元烈,应用随机过程,清华大学出版

2、社,2002BerntksendalStochasticD如果ferentialEquations,Springer-Verlag,1998陈萍等编，概率与统计，科学出版社，2006工程数学--积分变换4随机试验是概率论的基本概念,一个试验(或观察)，若它的结果预先无法确定，则称之为随机试验;试验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间，记为;试验的每一个结果或样本空间的元素称为一个样本点,记为ω;由一个样本点组成的单点集称为一个基本事件,也记为ω.由Ω中的若干子集构成的集合称为集类，用花写字母A，B，F等表示．由于并不是在所

3、有的Ω的子集上都能方便地定义概率，一般只限制在满足一定条件的集类上研究概率性质，为此引入域(代数)的概念：5定义1.1.1设F是空间上的集类，称F为-代数（域）（-algebra）,若满足:①∈F;②F∈FFC∈F；③A1,A2,…∈FAi∈F注:如果F是-代数,则F对F上的所有集合运算封闭；且对极限运算封闭，如：A1,A2,…∈FAi∈F,A1,A2,…∈FandAnAA∈F,A1,A2,…∈FandAnAA∈F6例1.1.1几个常见的-代数：1）称{,}为最“粗”的-代数，而称()=

4、{的所有子集}为最“细”的-代数；2）设A，则{,,A,Ac}是-代数；3）设F1，F2是的子集组成的两个-代数，令F3=F1F2，则F3也为-代数；4）设是实数域Rn，是由Rn上的一切开集生成的-代数，称之为Borel代数，B中的元素称为Borel集.7定义1.1.2设U是由的子集构成的集类.称包含U.的最小-代数,即为由U生成的-代数（the-algebrageneratedbyU.）定义1.1.3设F为空间的子集组成的代数，称二元组(,F)为可测空间（measurablespace）;

5、的任一子集F称为F-可测（F-measurable）的,如果F∈F.8定义1.1.4设(,F)为可测空间，μ为定义在F上取非负实数R+=[0,+]的函数，即μ:FR+，若μ()=0;若A1,A2,…∈F,且{Ai}i≧1两两不交，则特别，（1）当μ()=1时，称μ为概率测度(probabilitymeasure),记为P，并称(,F,P)为概率空间(probabilityspace).此时称F可测集A为事件，A的测度P(A)称为事件A发生的概率。则称μ为可测空间(,F)上的测度(measure)，且称(,F,μ

6、)为测度空间(measurespace).9(2)当=R，F=B为R上的Borel代数，测度μ使得开区间的测度等于区间的长度,即若A=(a.b),则μ(A)=b-a时,称μ为Lebesgue测度.(3）在可测空间(R,B)上，f是单调不减的连续函数，在B上定义测度μ为称μ为Lebesgue-Stieltjes测度.事件的概率刻画了事件出现可能性的大小．概率的基本性质如下：1）有限可加性：设{Ai,i=1,…,n}为两两互不相容的事件列，则102）单调性：A,BF,且AB,则P(A)P(B)；3）减法公式：A,BF,

7、则P(B-A)=P(B)-P(AB)；4）下（上）连续性：设{An,n1}F,若An↓A,则P(An)↓P(A);若An↑A,(n→∞),则P(An)↑P(A);5）Jordan公式：设{Ai,i=1,…,n}为事件列，则11定义1.1.5设(,F)与（E，E）为可测空间,函数X:→E称为F-可测的（F-measurable）,如果对任意UE，特别，若(,F,P)为概率空间，(E,E)=（Rn，B)，则可测函数X称为n维随机变量（随机变量）;易证，集类仍为代数，称为由随机变量X生成的代数，记作.显然，X是(X)

8、可测的，且(X)是使X可测的最小代数。任一随机变量X，都可以导出(Rn,B)上的测度，称为X的分布，即12定理1.1.6设X,Y为→Rn的函数.则Y是(X)-可测的，当且仅当存在Borel可测函数g:Rn→Rn使得Y=g(X)定理1.1.4设X,Y为F-