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1、概率统计与随机过程第一章随机事件及其概率1.随机试验（简称试验）：a)重复性：试验可以在相同的条件下重复进行；b)多样性：试验的可能结果不止一个，并且一切可能的结果都已知；c)随机性：在每次试验前，不能确定哪一个结果会出现。2.随机试验中出现的各种可能结果称为试验的基本结果。随机试验E的所有可能结果组成的集合称为试验的样本空间S。样本空间中的元素，即E的每个基本结果，称为样本点。3.随机事件（简称事件）：随机试验E的样本空间S的子集为E的随机事件。在一次实验中，当且仅当这一子集中的某个样本点出现时，称这一事件发生。a)只含有一个样本点的事件称为基本事件；b)样本空间包含所有的样本点，
2、称为必然事件；c)不包含任何样本点的事件称为不可能事件。4.随机事件间的关系a)包含关系：B⊂A称B事件在A事件中，表示若B发生必然导致A发生b)相等关系：A、B相互包含，则B=Ac)事件的和：A∪B，表示A、B中至少有一个发生d)事件的积：A∩B，简记为AB，表示A、B都发生e)事件的差：A-B={x∈A且x∉B}，表示A事件发生且B事件不发生f)互不相容（互斥）：A∩B=φ，表示A、B不可能同时发生g)互逆关系（对立）：A∪B=S,A∩B=φ，记为A=B或B=A5.运算规律a)交换律：A∪B=B∪AA∩B=B∩Ab)结合律：A∪B∪C=(A∪B)∪CA∩B∩C=(A∩B)∩Cc)
3、分配律：A∪B∩C=A∪B∩(A∪C)A∩B∪C=A∩B∪(A∩C)d)对偶律：A∪B=A∩BA∩B=A∪B6.若B⊂A，则PA=PB∪A-B=PB+PA-B⇒PA-B=PA-P(B)7.古典概率模型，简称古典概型（又称等可能概率模型）：a)试验的样本空间只含有有限个样本点，即基本事件数有限；b)在每一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同。c)超几何分布：PA=Cn1m1Cn2m2Cnm8.条件概率：P(A
4、B)，表示B发生的条件下，A发生的条件概率a)PAB=P(AB)P(B)b)如果A1、A2、…、Ai两两互不相容，则：Pi=1∞AiB=i=1∞P(AiBc)乘法公式：PA1
5、A2…An=PA1PA2A1PA3A1A2…P(An
6、A1A2…An-1)9.全概率公式：PA=PB1PAB1+PB2PAB2+…+PBnP(A
7、Bn)其中B1,…,Bn互不相容，且S=B1∪B2∪…∪Bn1.贝叶斯公式：PBiA=P(ABi)P(A)=PBiP(A
8、Bi)j=1nPBjP(A
9、Bj),i=1,2,3,…,n2.事件的独立性：PAB=PAP(B)3.二项概率公式：Pnk=Cnkpk(1-p)n-k第一章随机变量及其分布1.设S={e}为随机试验E的样本空间。如果对于每一个e∈S，都有一个实数X(e)与之对应，这样就得到一个定义在S上的实值单值函数X(e)，称X(e)为
10、定义在S上的一个随机变量，简记为X。可得，随机变量是一个函数。2.离散型随机变量：全部可能取值为有限个或可列多个的随机变量。非离散型随机变量：随机变量除去离散型随机变量外的。其中最重要的是连续型随机变量。3.设X是随机变量，X的所有可能取值为x1,…,xk,…，且X取各值的概率为PX=xk=pk，则称该式为随机变量X的概率分布或分布律。4.常见的离散型随机变量的分布a)0—1分布/两点分布：X~B(1,p)X的所有可能取值为0与1，且它的分布律为PX=k=pk(1-p)1-kX01P1-ppb)二项分布：X~B(n,p)X所有可能取值为非负整数，PX=k=Cnkpk(1-p)n-kl
11、当k=[(n+1)p]时，P(X=k)取得最大值l泊松定理：设Xn~B(n,pn)，且limn→∞npn=λ>0为常数，则对于任意固定的非负整数k有：limn→∞PXn=k=limn→∞Cnkpk(1-pn)n-k=λke-λk!c)泊松分布：X~π(λ)，X为非负整数PX=k=λke-λk!lk=λ时，PX=k取得最大值d)几何分布：X~G(p)X可能取值为一切自然数，PX=k=(1-p)k-1p5.在实际工作中，抽样一般都是不放回抽样，因此计算时理论上应该用超几何分布。但是，当产品数N很大是，超几何分布的计算非常繁琐，在实际应用中只要产品数N≥10n(n为抽出的样品数)，超几何分
12、布就可以用二项分布来近似,可以证明：当p=limN→∞MN时，limn→∞CMkCN-Mn-kCNn=Cnkpk(1-p)n-k6.设X是一个随机变量，x是任意实数，则称函数Fx=P(X≤x)为随机变量X的分布函数。a)F(x)是单调不减函数b)F-∞=limx→-∞Fx=0,F+∞=limx→+∞Fx=1c)F(x)是右连续的7.对于任意一个随机变量X，如果X的分布函数F(x)在x=x0处连续，则PX=x0=08.离散型随机变量的分布函数：Fx=PX≤x
