概率统计与随机过程 3.3

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1、§3.3随机变量的独立性——将事件的独立性推广到随机变量定义设(X,Y)为二维随机变量，若对于任何则称随机变量X和Y相互独立两个随机变量的相互独立性实数x,y都有由定义可知二维随机变量(X,Y)相互独立二维离散型随机变量(X,Y)相互独立即二维连续型随机变量(X,Y)相互独立二维连续型随机变量(X,Y)相互独立二维随机变量(X,Y)相互独立,则边缘分布完全确定联合分布证对任何x,y有取相互独立命题故将代入即得例1已知(X,Y)的联合概率密度为(1)(2)讨论X,Y是否独立？解(1)由图可知边缘密度函数为11显然，故X,Y相互独立(2)由图可知边缘密度

2、函数为显然，故X,Y不独立11判断连续型二维随机变量相互独立的两个重要结论设f(x,y)是连续型二维随机变量(X,Y)的联合密度函数，r(x),g(y)为非负可积函数，且则(X,Y)相互独立且利用此结果，不需计算即可得出(1)中的随机变量X与Y是相互独立的.再如，服从矩形域{(x,y)

3、a

4、则(X,Y)相互独立的充要条件为且设X,Y为相互独立的随机变量，u(x),v(y)为连续函数,则U=u(X),V=v(Y)也相互独立.事实上，设X与Y的概率密度函数分别为fX(x),fY(y),则因此，例如，若X,Y为相互独立的随机变量则aX+b,cY+d也相互独立；X2,Y2也相互独立；随机变量相互独立的概念可以推广到n维随机变量若则称随机变量X1,X2,,Xn相互独立若两个随机变量相互独立,且又有相同的分布,不能说这两个随机变量相等.如XP-110.50.5YP-110.50.5X,Y相互独立，则X-11-110.250.25Ypij0.250.

5、25P(X=Y)=0.5,故不能说X=Y.注意