随机过程与数学建模

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1、随机过程与数学建模吉林大学方沛辰随机性和确定性是一对矛盾，它们既对立又统一。一般的问题不是能明确划分的，常常两种性质都有，用不同的假设来处理。1.随机型问题随机型问题的最优化常常是对目标函数的数学期望求最优。因此首先需要知道概率分布，再写出目标函数的数学期望的表达式进而解决问题。这里很可能用到求函数的期望。例题：一个私人牙科诊所很受欢迎，病人络绎不绝。来的有病名概率治疗时间平均A1/220分钟10B1/330分钟10C1/690分钟15三种病，一名医生每天上午和下午分别工作3.5小时，都是早8点挂

2、的号，上午和下午分别挂多少号最适合？平均看一个病人的时间显然是35分钟，3.5小时应该看6人。大家想过没有，这样将会有一半的时间不能正常吃午饭！如果6个人都是C病，全看完要9个小时！那我们应该有什么样的结论呢？好像没什么好做的。真正要解决这个问题就要用到随机过程的理论和方法。再举一例：豹在逐渐靠近羊的时候是匍匐前进，一旦羊发现了豹开始逃走时豹就起身追赶。假设羊不能发现50米之外的豹，到了15米羊就必然发现豹，怎样描述羊和豹在相距x米时的发现概率。这是一个很让人深思的问题。从视觉角度看发现一个物体应

3、该和物体的像的面积成正比，这样概率可看作是x的函数p(x)，并且是在15处取1，50处取0,中间是递减的，进而是x的二次函数。但是注意p(x)不是密度函数，那它是什么呢？2.随机过程初步知识在概率论中学过随机向量(x1,x2,…,xn)，相关学过联合分布、边缘分布、条件分布等概念，一起研究许多个比单个研究方便。把随机向量的概念推广，一起研究无穷多个随机变量，就是随机过程。注意无穷多有两种：可列多和连续多，对应就有随机序列和随机过程两个概念。有限多和无限多有本质区别。例1用x(t,ω)记（0，t)中

4、电话接到的呼叫数。不同的t是不同随机变量,不同的ω是不同的样本曲线。例2用x(t,ω)记微粒在水面布朗运动漂浮时横坐标。例3用x(n,ω),n=1,2,…记相互独立同分布的伯努利随机变量序列，取值0和1，相应概率q和p，称为伯努利过程。取值为0,1,2,…,称为二项计数过程，或随机游动。例4用x(n,ω)记第n代生物群体的数量。定义设{X(t),t>0}是一个随机过程，取定t,X(t)是一个随机变量，它的分布函数称为X(t)的一维分布函数，相应也有一维概率密度等概念。定义设{X(t),t>0}是一

5、个随机过程，取定s,t,X(s),X(t)是一个二维随机变量，它的分布函数称为(X(s),X(t))的二维分布函数。定义设{X(t),t>0}是一个随机过程，取定t1,t2,…,tn，X(t1),X(t2),…,X(tn)是一个n维随机变量，它的分布函数随机过程的数字特征，对于称为均值函数；定义：称为方差函数；称为协方差函数；称为相关函数；介绍一本教材：研究生教学用书“随机过程及应用”电子科技大学应用数学学院陈良均朱庆棠高教出版社定义：如果对任意的正整数n及任意的t1,t2,…,tn∈T,随机变量

6、X(t1),X(t2),…X(tn)相互独立，称过程是独立过程。3.几种重要的随机过程例伯努利过程是独立过程。定义：如果对任意的正整数n及任意的t10,随机变量X(t+h)-X(s+h)与X(t)-X(s)有相同的概率分布，称过程是平稳的独立增量过程。例二项计数过程是平稳的独立增量过程性质1如果{X(t),

7、t≥0}是平稳独立增量过程，X(0)=0，则(1)均值函数m(t)=mt,m为常数；(2)方差函数D(t)=σ2t,σ为常数；(3)协方差函数C(s,t)=σ2min{s,t}。性质2独立增量过程的有限维分布由一维分布和增量分布确定。定义：给定随机过程{X(t),t∈T}如果对任意的正整数n及任意的t1,t2,…,tn∈T,随机变量X(t1),X(t2),…X(tn)的联合概率分布为n维正态分布，称过程{X(t),t∈T}是正态过程（高斯过程）。定义：如果随机过程{W(t),t∈T}满足下列条件：

8、(1)W(0)=0;(2)E[W(t)]=0;(3)具有独立增量；(4)t>0,W(t)～N(0,σ2t),(σ>0)称{W(t),t∈T}是参数为σ2的维纳过程。性质1维纳过程是平稳独立增量过程。性质2维纳过程是正态过程。性质3维纳过程是马尔可夫过程。性质4维纳过程是均方连续、均方不可导、均方可积二阶矩过程。性质5维纳过程是非平稳过程，但为平稳独立增量过程。4.泊松过程定义1：如果取非负整数值的计数过程{N(t),t≥0}满足：(1)N(0)=0;(2)具有独立增量;(3)对任意