多元随机过程的建模与谱估计

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1、第七章多元随机过程的建模与谱估计7.1多元随机过程的表示维平稳随机向量过程由个平稳随机过程构成(7-1)其二阶性能由均值向量(7-2)和协方差矩阵(7-3)决定，其中是随机过程和的协方差，即，(7-4)维白噪声向量：(7-5)其中为常数矩阵。若白噪声向量的个分量互不相关，则其协方差矩阵是对角矩阵，即(7-6)一般，我们总是将原随机向量减去均值向量估计，构成一个零均值的、新的随机向量。然后对新的随机向量进行各种分析。不失一般性，我们总是可以假设随机向量是零均值的。此时，协方差矩阵与互相关矩阵相同，即是(7-7)其中，是随机过程和的互相关函数。性质：１）(7-8)【证明：显然，，得】2）是非负

2、定的【证明：用不全为零的实数，作随机过程则有当且仅当。】137.1向量过程的模型表示与谱①向量过程的ＡＲ模型与功率谱用ｍ维过程模型描述的随机向量过程表示为(7-9)其中Ｙ(k)是ｍ维向量过程，Ａi为ｍ×ｍ阶参数矩阵，Ｗ(k)是ｍ维白噪声。记,(7-10)则(1)式可改写为　　　或(7-11)向量过程｛Ｙ(ｋ)｝的功率谱密度函数矩阵为　　(7-12)其中是常数矩阵．当Ｗ(k)的各分量互不相关时，Ｓｗ(ｅｊω)是对角矩阵(7-13)　　②向量过程的模型与功率谱用ｍ维过程模型描述的随机向量过程表示为(7-14)其中是ｍ维向量，Ｗ(k)是ｍ维白噪声，为ｍ×ｍ阶参数矩阵。记　　　　　(7-15)则(

3、7-11)式可改写为　　或　(7-16)向量过程的功率谱密度函数矩阵为　　　　　(7-17)其中是ｍ维白噪声的协方差矩阵。　　显然，如果我们获得了过程模型参数及ｍ维白噪声的协方差矩阵Γ的估计，也就获得了过程功率谱的估计。　　前面讨论的标量过程的ＡＲ、ＡＲＭＡ建模与谱估计可以推广到多变量过程。7.2向量ＡＲ过程的建模１过程的方程对(1)式右乘，并取期望13得(7-18)由因果性质,得(7-19)于是(7-20)展开(7-21)对(7-21)式求转置，并考虑到相关性质，则式(7－21)可改写为(7-22)(7-22)为向量过程方程，令，，(7－23)则(7-22)式可改写为矩阵形式(7－24)

4、1.性质：互相关矩阵是非负定的。【证明：作随机过程其中，是实数向量，（ｉ＝１，２，···，ｎ）不全为零。则n13其中，】1.向量过程ＡＲ建模的互相关矩阵法Ｐ阶最佳线性预测(7-25)使预测误差(7-26)的互相关矩阵(7-29)最小。又记(7-28)则有(7-29)并且13(7-30)因此(7-31)令,(7-32)则有：，(7-33)于是(7-34)定理：随机过程的p阶最佳前向线性预测参数矩阵满足(7-35)并且，最佳前向线性预测误差的方差为(7-36)【证明：由(7-34)得令(7-37)则(7-38)13显然，(7-37)中第一项与参数无关，第二项是一个非负得二次型，当第二项为零时，

5、达最小值。因此，(7-35)得证。最佳前向线性预测误差得方差将(7-32)代入上式，即可得(7-36)式。合并(7-35)和(7-36)式，得(7-39)其中(7-40)结论：阶最佳线性预测参数满足多变量方程．依阶次递推：按上述同样的方法可推，Ｐ＋１阶最佳线性预测参数满足阶方程：(7-41)记(7-42)则又可以分块表示为(7-43)令(7-44)利用分块矩阵求逆公式可得(7-45)并且由(7-32)和(7-44)式，得(7-46)于是，由(7-41)13(7-47)记，(7-48)则(7-49)并且，预测方差(7-50)而根据(7-49)、(7-46)式(7-51)将(7-51)代入(7

6、-50)，得(7-52)特例：当时，，，，实际应用中，互相关函数的估计可由下式计算13，(7-53)综合上述，有如下依阶次递推的算法。第一步：初始化按照计算式(7-53)估计互相关矩阵，(7-54)第二步：计算，(7-55)，(7-56)第三步：计算中间变量第四步：判阶，即递推终止条件判断如果，结束递推；否则，到第五步；第五步：参数递推第五步：逆矩阵递推；转到第三步。特点：运算量较大；离线计算。13向量过程AR建模的RLS方法问题：根据随机向量过程的观测数据，建立AR模型，使前向预测误差(7-57)的方差(7-58)1)当时，2)当中，各分量互不相关时，即(7-59)时，有(7-60)使最

7、小，等价于使的每个分量的方差最小，即(7-61)等价于使　　　　　　　　　　(7-62)当观测数据为有限序列，，并且不加数据窗时，指标函数可以改写为(7-63)其中(7-64)由于(7-65)记(7-66)(7-67)(7-68)(7-69)(7-70)(7-71)(7-72)(7-73)13则(7-74)(7-75)其中，，，，，，，。1)正则方程求解由(7-63)式得(7-76)其中是的第列，是的第列，即由指标取极小