单变量随机过程的建模与谱估计

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1、第六章单变量随机过程的建模与谱估计6.1概述6.1.1引言一个平稳过程的主要统计特性可用它的协方差函数或等价的谱函数来刻画。但是协方差函数和谱函数都是用无限个数值，即一条曲线来描述，使用不方便，尤其是在预测、滤波、控制等应用场合。根据随机信号理论知，若平稳随机信号满足表示定理条件，它可以被看作是某一线性定常系统对白噪声输入的响应，即(6-1)其中是方差为的白噪声，是后移位算子的有理多项式，并且的功率谱密度函数可以表示为(6-2)因此，可以用系统传递函数的有限个参数来刻画该过程的主要统计特性。另外，经典的随机信号谱估计方法是确定信号谱估计方法的推广，所获得的谱估计

2、量是非一致的。各种改进算法，如平滑、加窗、分段平均等，但是它们也都在曲线平滑程度与峰值分辨率之间存在矛盾。用模型估计方法的基本思路是，先估计过程模型参数，再由参数估计谱，以便得到更好的估计量。6.1.2平稳过程的线性模型表达由线性环节的三种形式(6-3)可以导出平稳过程的三种标准的线性模型表达：1)p阶自回归过程阿AR(p)(6-4)或(6-5)2)q阶滑动平均过程MA(q)(6-6)或(6-7)3)p、q阶自回归滑动平均过程ARMA(p,q)(6-8)或(6-9)1)若是渐近稳定的，则AR(p)过程等价于MA(∞)过程，即(6-10)2)若是最小相位的，则MA

3、(q)过程等价于AR(∞)过程，即18(6-11)3)若是渐近稳定且最小相位的，则ARMA(p,q)过程等价于AR(∞)过程，即(6-12)4)若是渐近稳定且最小相位的，则ARMA(p,q)过程等价于MA(∞)过程，即(6-13)6.2平稳过程的AR(p)模型估计6.2.1AR(p)过程的标准方程对式(6-5)左乘，并取数学期望，得(6-14)即(6-15)因为AR(p)过程可以用MA(∞)表示，即因此(6-16)将式(6-16)代入式(6-15)，得自相关函数的通解,(6-17)边界条件(6-18)(6-18)式就是AR(p)过程的标准方程，又称为Yule－W

4、alker方程（简称：Ｙ－Ｗ方程）。记(6-19)18,(6-20)则式(6-18)可以改写为矩阵形式(6-21)定义置换矩阵是单位正交矩阵，即。记,(6-22)则有，，因此，对（6－21）左乘、右乘，得(6-23)6.2.2AR过程的前向线性预测所谓阶前向线性预测就是用过程的时刻以前的个观测值的线性组合来估计ｎ时刻的值，使前向预测误差(6-24)的均方差(6-25)最小。ｐ阶前向线性预测可以表示为(6-26)ｐ阶前向线性预测误差为(6-27)其中ｐ阶前向线性预测误差的均方差为(6-28)由最小值条件，得18,(6-29)即,因此，最优的ｐ阶前向线性预测方程(6

5、-26)中的系数满足,(6-30)并且，ｐ阶前向线性预测误差为(6-31)其中ｐ阶预测误差的方差为(6-32)将式(6-29)代入式(6-32)，得(6-33)显然，联立式(6-33)和式(6-30)就是Ｙ－Ｗ方程(6-18)，只是AR-(ｐ)过程模型输入的方差变为预测误差的方差。结论：１）AR-过程的最小均方意义下的ｐ阶前向线性预测参数满足ｐ阶Ｙ－Ｗ方程。２）如果AR-过程的真实阶次就是ｐ，则＝，。此时，ｐ阶前向线性预测误差成为白噪声。因此，前向线性预测误差滤波器又称为白化滤波器。5.2.3AR-过程的后向(线性)预测所谓ｐ阶后向线性预测就是，用过程的n-p时

6、刻以后的ｐ个值来估计n-p时刻的值，使后向线性预测误差(6-34)的均方差(6-35)最小。ｐ阶后向线性预测可以表示为(6-36)ｐ阶后向线性预测误差为(6-37)其中ｐ阶后向线性预测误差的均方差为18(6-38)由最小值条件，得,(6-39)即,因此，最优的ｐ阶后向线性预测方程(6-36)中的系数满足,(6-40)并且，ｐ阶后向线性预测误差为(6-41)其中ｐ阶后向线性预测误差的均方差为(6-42)将式(6-39)代入式(6-42)，得(6-43)显然，联立式(6-43)和式(6-40)也是Ｙ－Ｗ方程(6-18)，只是AR-(p)过程模型输入的方差变为ｐ阶后向

7、线性预测误差的均方差。由Ｙ－Ｗ方程解的唯一性知，ｐ阶前向线性预测方程(6-26)和ｐ阶后向线性预测方程(6-36)中的系数相等，即(6-44)因此，ｐ阶前、后向线性预测滤波器的关系为或(6-45)最优的ｐ阶后向线性预测误差方程(6-41)又可改写为(6-46)结论：AR-过程的最小均方意义下的ｐ阶后向线性预测参数满足ｐ阶Ｙ－Ｗ方程。6.2.4AR-模型参数估计的Levinson-Durbin算法（简称Ｌ-Ｄ算法）Ｌ－Ｄ算法是已知相关函数，估计模型参数。根据前二节的讨论知，AR-过程的ｐ阶前向线性预测模型参数满足ｐ阶Ｙ－Ｗ方程，即(6-47)且(6-48)ｐ＋１阶

8、前向线性预测模型参数满足