多元随机过程的建模与谱估计

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1、第七章多元随机过程的建模与谱估计7.1多元随机过程的表示维平稳随机向量过程由个平稳随机过程构成(7-1)其二阶特性由均值向量：(7-2)和协方差矩阵：(7-3)决定，其中是随机过程和的协方差，即，由于，因此，协方差矩阵又可表示为(7-4)其中，为维平稳随机向量过程的自相关矩阵。该矩阵中的第行第列元素是随机过程和的互相关函数，即(7-5)当的均值为零时，协方差矩阵与互相关矩阵相等。一般情况下，总是将随机向量减去其均值向量估计，构成一个零均值的、新的随机向量。然后对新的随机向量进行各种分析。举例，维白噪声向量的二阶特征量为：其中为常数矩阵。

2、若白噪声向量的个分量互不相关，则其协方差矩阵是对角矩阵，即(7-6)互相关矩阵性质：１）(7-7)【证明：因为，，所以】2）是非负定的【证明：用个不全为零的实数，，作随机过程12，则有当且仅当时，成立。】7.2向量过程的模型表示与谱①向量过程的ＡＲ模型与功率谱用维过程模型描述的随机向量过程表示为(7-8)其中（）为阶参数矩阵，是维白噪声。记，(7-9)则(7-8)式可改写为　或(7-10)随机向量过程的功率谱密度函数矩阵为(7-11)其中是常数矩阵。当的各分量互不相关时，是对角矩阵，即(7-12)　　②向量过程的模型与功率谱用维过程模型

3、描述的随机向量过程表示为(7-13)其中是维向量，是维白噪声，为阶参数矩阵。记　　　　　(7-14)则(7-13)式可改写为　　或　(7-15)向量过程的功率谱密度函数矩阵为　　　　　(7-16)其中是白噪声的协方差矩阵。　　显然，如果我们获得了过程模型参数及维白噪声的协方差矩阵Γ的估计，也就获得了过程功率谱的估计。前面讨论的标量过程的AR、ARMA建模与谱估计可以推广到多变量过程。7.3向量AR过程的建模１．过程的方程对(7-8)式右乘并取期望，得(7-17)因此，有12(7-18)由因果性质知，当m小于零时，与无关；同时，考虑到的零

4、均值特性，有，(7-19)而当m为零时，利用（7－8）和（7－19）有(7-20)因此(7-21)于是(7-22)展开(7-23)对(7-23)式求转置，并考虑到相关性质，则式(7-22)可改写为(7-24)(7-24)为向量过程方程，令(7-25)，(7-26)则(7-24)式可改写为矩阵形式(7-27)1．互相关矩阵的性质：1）是非负定的，即；当中不存在零分量时，正定。【证明：作随机过程12其中，（）是实数向量，（）不全为零。则其中当不存在零分量时，必定是非零的，，正定。注：以下讨论的随机向量过程均假设不含零分量。】2）递推性质。若

5、记(7-28)则(7-29)【根据矩阵中的各个子块的排列规律，显然。】2．向量过程AR建模的互相关矩阵法阶最佳线性预测(7-30)使预测误差(7-31)的互相关矩阵(7-32)最小。记12(7-33)。对(7-31)式作转置，并根据(7-26)式的定义和(7-33)式，(7-31)式可以改写为(7-34)而(7-35)将(7-34)式代入(7-32)式，并考虑到(7-35)式，得(7-36)令(7-37)将上式与(7-26)式比较，有(7-38)考虑到互相关矩阵的性质2)，(7-36)式可以进一步改写为(7-39)定理：维随机向量过程的

6、p阶最佳前向线性预测参数矩阵满足(7-40)并且，最佳前向线性预测误差的方差矩阵为(7-41)【证明：由(7-39)式，得(7-42)令(7-43)则(7-42)式可以改写为12利用的对称性，上式可以进一步改写为(7-44)显然，(7-44)中第一项与参数无关，第二项是一个非负得二次型，当第二项为零时，达最小值，即(7-40)式成立。由于是正定的，由(7-40)式得出最佳前向线性预测参数矩阵为(7-45)此时，预测误差的方差矩阵(7-46)将(7-45)式代入(7-46)式，即可得(7-41)式。】显然，合并(7-40)式和(7-41)

7、式，有(7-47)其中，(7-48)结论：阶最佳线性预测参数满足阶多变量Y－K方程．在上述推导过程中，是任意的正整数。因此可以推断，随机向量过程的阶最佳线性预测参数满足阶多变量Y－K方程：(7-49)根据(7-25))式，令(7-50)则(7-51)令(7-52)利用分块矩阵求逆公式可得(7-53)并且由(7-52)和(7-45)式，得(7-54)于是，由(7-41)记12(7-47)记，(7-48)而根据(7-49)、(7-46)式┌┐┌┐│Ｄ12(p)Ｄ22(p)ΨT(p+1)││Ｄ12(p)│△θ^p+1＝││＝││Ｄ22(p)Ψ

8、T(p+1)(36)│－Ｄ22(p)ΨT(p+1)││－Ｉ│└┘└┘【证明：当ｍ＝１时，Ｄ22(p)＝Ｄf-1(p)，Ｄ22(p)ΨT(p+1)＝－ρ(p+1)，Ｄ12(p)＝－θ^p,inv，△θ^p+1