高考数学专题训练(导数)2

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1、17.江苏省滨海县08届高三第三次联考数学试卷2008-1-4已知函数(1)若在上单调递增，求的取值范围；(2)若定义在区间D上的函数对于区间D上的任意两个值总有以下不等式成立，则称函数为区间D上的“凹函数”.试证当时，为“凹函数”解：(1)由，得若函数为上单调增函数，则在上恒成立即不等式在上恒成立.也即在上恒成立令，上述问题等价于，而为在上的减函数，则，于是为所求(2)证明：由得而①又，∴②∵∴，∵∴③由①、②、③得即，从而由凹函数的定义可知函数为凹函数18.如右图（1）示，定义在D上的函数，如果满足：对，常数A

2、，都有≥A成立，则称函数在D上有下界，其中A称为函数的下界.（提示：图(1)、（2）中的常数A、B可以是正数，也可以是负数或零）（1）（1）试判断函数在（0，＋）上是否有下界？并说明理由；（2）又如具有右图（2）特征的函数称为在D上有上界。请你类比函数有下界的定义，给出函数在D上有上界的定义，并判断（1）中的函数在（－，0）上是否有上界？并说明理由；（3）若函数在D上既有上界又有下界，则称函数在D上(2)有界，函数叫做有界函数．试探究函数（是常数）是否是（、是常数）上的有界函数？解法1：∵，由得，∵，∴，-----

3、------------2分∵当时，，∴函数在（0，2）上是减函数；当时，，∴函数在（2，＋）上是增函数；∴是函数的在区间（0，＋）上的最小值点，∴对，都有，------------------------------------4分即在区间（0，＋）上存在常数A=32,使得对都有成立，∴函数在（0，＋）上有下界.---------------------5分[解法2：当且仅当即时“＝”成立∴对，都有，即在区间（0，＋）上存在常数A=32,使得对都有成立，∴函数在（0，＋）上有下界.]（2）类比函数有下界的定义，函

4、数有上界可以这样定义：定义在D上的函数，如果满足：对，常数B，都有≤B成立，则称函数在D上有上界，其中B称为函数的上界.-----7分设则，由（1）知，对，都有，∴，∵函数为奇函数，∴∴，∴即存在常数B=－32，对，都有,∴函数在（－，0）上有上界.---------9分（3）∵，由得，∵∴∵，∴，----------10分∵当时，，∴函数在（0，）上是减函数；当时，，∴函数在（，＋）上是增函数；∴是函数的在区间（0，＋）上的最小值点，---------------------11分①当时，函数在上是增函数；∴∵、

5、是常数，∴、都是常数令,∴对，常数A,B,都有即函数在上既有上界又有下界-------------------------12分②当时函数在上是减函数∴对都有∴函数在上有界.-------------------------13分③当时，函数在上有最小值＝令,令B=、中的最大者则对，常数A,B,都有∴函数在上有界.综上可知函数是上的有界函数--------------14分19.已知函数，仅当时取得极值且极大值比极小值大4，求的值.解：且是极值点则仅有极值且为极大值点，为极小值点故20.已知函数为偶函数，它的图象过

6、点A(0,-1)，且x=1处的切线方程为2x+y-2=0。（1）求函数的表达式；（2）若对任意x∈R，不等式≤都成立，求实数t的取值范围。解：（1）∵是偶函数，即恒成立。∴，……2分又由图象过点，可知又∵，由题意知函数在点(1,0)的切线斜率为，故……4分∴∴……6分（2）由恒成立，且恒大于0，可得恒成立，令……8分设（当且仅当∴的最大值为故实数t的取值范围是……12分21.已知，（），直线与函数、的图像都相切，且与函数的图像的切点的横坐标为1．（Ⅰ）求直线的方程及的值；（Ⅱ）若（其中是的导函数），求函数的最大值；

7、（Ⅲ）当时，求证：．解：（Ⅰ）依题意知：直线是函数在点处的切线，故其斜率，所以直线的方程为．又因为直线与的图像相切，所以由，得（不合题意，舍去）；（Ⅱ）因为（），所以．当时，；当时，．因此，在上单调递增，在上单调递减．因此，当时，取得最大值；（Ⅲ）当时，．由（Ⅱ）知：当时，，即．因此，有．22.某工厂有一个容量为300吨的水塔，每天从早上6时起到晚上10时止供应该厂的生产和生活用水，已知该厂生活用水为每小时10吨，工业用水量W（吨）与时间t（小时，且规定早上6时t＝0）的函数关系为W＝100．水塔的进水量分为10级

8、，第一级每小时进水10吨，以后每提高一级，每小时进水量就增加10吨．若某天水塔原有水100吨，在开始供水的同时打开进水管，问进水量选择为第几级时，既能保证该厂的用水（水塔中水不空）又不会使水溢出?设进水量选第x级，则t小时后水塔中水的剩余量为：y＝100＋10xt－10t－100，且0≤t≤16．根据题意0＜y≤300，∴0＜100＋10xt－10t－100