重积分与线面积分练习题及答案

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1、重积分与线面积分练习题1.设，D表示全平面，则【详解】由题设知，只有当时，被积函数才不为0，即2.设为正向圆周在第一象限中的部分，则曲线积分的值为.【分析】利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分。【详解】正向圆周在第一象限中的部分，可表示为于是=【评注】本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加的线段上用参数法化为定积分计算即可.3.二重积分，其中D是由所围成的区域。【详解】由函数的奇偶性可知,而，其中是由确定的闭域。故.4.设连续，则积分，其中.【详解】5.【分析】显然

2、我们首先遇到的便是函数的积分，而这个函数的原函数是不能表示为初等函数的，因此必须先交换积分顺序再计算累次积分。【详解】由题知积分区域D为由直线和抛物线所围成的，若先对积分，则.于是.6.设是圆的外侧，则曲线积分【详解】由于圆关于，，轴都是对称的，因此，，.其中是在的部分，则7.已知，其中∑是锥面和围成的整个立体的表面内侧，则.8..9..10.设函数连续，则二次积分等于(B)A.B.C.D.【分析】画出积分区域的草图即可.11.若是星形线上半部（取顺时针方向）,的值为().(A)；(B)；(C)；(D)12.设，

3、，，其中，则(A)A..B..C..D..【分析】都是区域D上的二重积分，只需比较被积函数在D上的大小。【详解】由于在区域D上有，所以，（仅在点处取等号）.于是有.13.设f(x)为连续函数，，则等于(A)2f(2).(B)f(2).(C)–f(2).(D)0.[B]【分析】先求导，再代入t=2求即可。关键是求导前应先交换积分次序，使得被积函数中不含有变量t.【详解】交换积分次序，得=于是，，从而有，故应选(B).【评注】在应用变限的积分对变量x求导时，应注意被积函数中不能含有变量x:否则，应先通过恒等变形、变量

4、代换和交换积分次序等将被积函数中的变量x换到积分号外或积分线上。14.设函数连续,区域,则等于（D）（A）.（B）.（C）.（D）【分析】将二重积分化为累次积分的方法是:先画出积分区域的示意图,再选择直角坐标系和极坐标系,并在两种坐标系下化为累次积分.【详解】积分区域见图.在直角坐标系下,故应排除（A）、（B）.在极坐标系下,,,故应选（D）.【评注】此题是将二重积分化为累次积分的常规题,关键在于确定累次积分的积分限.15.由曲线，，，所围成图形的面积.A.B.C.D.【详解】利用极坐标变换有故应选（C）16.设

5、L是星形线，则曲线积分A.B.C.D.【详解】由星形线的直角坐标方程，可推得参数方程则，故17.设函数在上有连续的导数，L是由点到的直线段，则曲线积分A.28B.26C.32D.30【详解】令，，则有，所以，在第一象限内所给曲线积分与路径无关，取为积分路径，有18.设L是上半圆上从点到点的弧段，则曲线积分A.B.C.D.【详解】添加轴上从点到的直线段，则有构成封闭曲线，它所围成的平面区域记为D，并令，，由格林公式有而于是可得.19.若区域D由所围成，则=20．若区域D由所围成，则=；21.设可微,,则22.设是球

6、域，则三重积分=.23．(0),其中.24.设是平面被圆柱面截出的有限部分，则曲面积分.25.计算二重积分，其中是由所围成的平面区域。【分析】采用“先后”方法计算。【详解】注：本题如果采用“先后”的方法，则计算比较复杂。26.计算二重积分，其中。【分析】由于被积函数不是初等函数，所以需将积分区域D分块后再积分。【详解】将积分区域D分成和两部分，则由于，所以，。注：本题将计算转化为计算，而是单位正方形上的二重积分，容易计算，而是已经算出的的相反数。27.计算二重积分，其中，积分区域。【详解】在极坐标下有.由对称性得

7、.令，则.记，则由此可得.所以.28.计算二重积分，其中，表示不超过的最大整数.【详解】令，，则计算二重积分，其中，表示不超过的最大整数.【详解】令，，则29.计算，其中为。【详解】在平面内投影为圆域，利用球坐标变换则，，30.计算三重积分，其中是由平面与三个坐标面围成的区域。【分析】这个积分区域对三个变量是对称的，关于被积函数也是对称的，利用对称性来计算。【详解】因为故31.计算，其中为.【详解】利用广义球坐标变换，令其中32.计算空间曲线积分，其中L为球面与平面之交线。【分析】以换，以换，以换，曲线L的方程不

8、变，即L具有轮换对称性，利用这一性质进行计算。【详解】由于轮换对称性，可知而L是经过球心的圆，其周长为，故＝.33.计算，其中L为与之交线。【详解】先从消去得其参数方程为，，因此.34.计算，其中是半球面的上侧。【详解】虽然不是封闭的，但我们可以用平面将其补上，使成为封闭的外侧面，它围成的域是。于是就有由于由高斯公式而的值又可以直接化成二重积分来计算故.35.计算，其中为