重积分习题及答案

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1、第九章重积分(A)1．填空题(1)设，，定义于，，则(2)设曲顶柱体的顶面是，，侧面是母线平行于轴，准线为的边界线的柱面，则此曲顶柱体的体积用重积分可表示为。(3)在极坐标系中，面积元素为。2．利用二重积分的性质，比较下列积分大小(1)与，其中积分区域由轴，轴以及直线所围成。(2)与，其中积分区域是由圆周所围成。3．利用二重积分性质，估计积分的值，其中是圆形闭区域。4．交换积分的积分次序。5．交换积分的积分次序。6．交换二次积分的积分次序。7．计算，其中是由两坐标轴及直线所围成的闭区域。8．计算，其中是

2、顶点分别为，和的三角形区域。9．计算，其中是顶点分别为，，和的梯形闭区域。10．计算二重积分，其中区域由曲线与围成。11．计算二重积分，其中是由圆周及轴所围成的右半闭区域。2612．计算，其中是圆环域。13．计算，：，，。14．计算二重积分，其中：。15．计算。16．求区域的面积。17．求由，，围成的平面图形的面积。18．求椭圆抛物面与平面所围成的立体体积。19．设平面上半径为的圆形薄片，其上任一点处的密度与该点到圆心的距离平方成正比，比例系数为，求该圆形薄片的质量。20．由圆，所围成的均匀薄片，面密度

3、为常数，求它关于坐标原点的动惯量。(B)1．选择题设空间区域：，，：，，，，则………………（）A．B．C．D．2．根据二重积分性质，比较下列积分大小：(1)与，其中是三角形区域，三顶点分别为，，。(2)与，其中是矩形闭区域：，。3．估计积分值，其中是由圆周围成。4．估计二重积分的值。5．交换二次积分次序。266．交换二次积分的次序：。7．改变积分次序。8．计算二重积分，其中是由直线，，及双曲线所围成的区域。9．计算二重积分。10．计算积分。11．其中是由所确定的闭区域。12．，其中是由直线，及所围成的闭

4、区域。13．计算，其中由抛物线及直线所围成。14．计算。15．计算，是由曲线，，所围成的区域。16．计算。17．计算，其中为在第一象限的部分。18．计算。19．计算。20．计算21．计算三重积分，其中由三个坐标面与平面所围成。22．计算，其中是平面和三个坐标平面所围成的区域。2623．计算积分。24．计算积分，其中为第一象限中由旋转抛物面与圆柱面所围成的部分。25．计算，其中是由曲线绕轴旋转一周而成的曲面与平面，所围的立体。26．求由下列曲面所界的体积，，，，，。27．求由圆锥面与旋转抛物面所围立体的体

5、积。28．求平面被三坐标面所割出部分的面积。29．求底圆半径相等的两个直交圆柱面及所围立体的表面积。30．一个物体由旋转抛物面及平面所围成，已知其任一点处的体密度与到轴的距离成正比，求其质量。31．求由圆，所围成的均匀薄片的重心。32．一均匀物体(密度为常量)占有的闭区域是由曲面和平面，，所围成的。(1)求其体积；(2)求物体的重心；(3)求物体关于轴的转动质量。(C)1．将下面积分化为重积分，并求的值。，其中，为常数。2．设区域为图中斜线部分，试将二重积分化为两种次序的二次积分。3．计算三重积分，其中

6、是由曲面与所围成的区域。4．计算，：。265．设连续，且，其中是由，，所围区域，求。6．(1)计算，其中；(2)试证。7．求曲面Σ：上任一点的切平面与曲面：所围立体的体积。8．设，其中为连续函数，存在，且，，求。第九章重积分(A)1．填空题(1)设，，定义于，，则>(2)设曲顶柱体的顶面是，，侧面是母线平行于轴，准线为的边界线的柱面，则此曲顶柱体的体积用重积分可表示为。(3)在极坐标系中，面积元素为。2．利用二重积分的性质，比较下列积分大小(1)与，其中积分区域由轴，轴以及直线所围成。解：在区域内，，两

7、边乘以，得，故由性质得：26(2)与，其中积分区域是由圆周所围成。解：令两被积函数相等，得或，直线与圆周交点为由图知：位于的半平面内故，因而。3．利用二重积分性质，估计积分的值，其中是圆形闭区域。解：因为，故，故4．交换积分的积分次序。解：由积分上下限画出积分区域，，故重积分交换积分次序为：。5．交换积分的积分次序。解：画出积分区域图，易知。6．交换二次积分的积分次序。解：积分的上下限作出积分区域的图形，原式。7．计算，其中是由两坐标轴及直线所围成的闭区域。26解：。8．计算，其中是顶点分别为，和的三角

8、形区域。解：原式9．计算，其中是顶点分别为，，和的梯形闭区域。解：原式10．计算二重积分，其中区域由曲线与围成。解：解，得交点，：，原式2611．计算二重积分，其中是由圆周及轴所围成的右半闭区域。解：原式12．计算，其中是圆环域。解：在极坐标系下计算积分的边界曲线的极坐标方程为：，，极点在内，射线与的边界交于两点，，，故原式。13．计算，：，，。解：原式14．计算二重积分，其中：。解：在极坐标下计算原式15．计算。26解：需改变积分次序才能