重积分和线面积分

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1、重积分与线面积分练习题一.填空题1.设，D表示全平面，则2.设为正向圆周在第一象限中的部分，则曲线积分的值为.3.二重积分，其中D是由所围成的区域。4.设连续，则积分，其中.5.6.设是圆的外侧，则曲线积分7.已知，其中∑是锥面和围成的整个立体的表面内侧，则.8._____.9..二.选择题1.设函数连续，则二次积分等于(B)A.B.C.D.2.设，，，其中，则(A)A..B..C..D..3.设f(x)为连续函数，，则等于26(A)2f(2).(B)f(2).(C)–f(2).(D)0.4.设函数连续,区域,则等于（D）（A）.（B）.（C）.（D）5.由曲线，，，所围成图形的面积.A

2、.B.C.D.6.设L是星形线，则曲线积分A.B.C.D.7.设函数在上有连续的导数，L是由点到的直线段，则曲线积分A.28B.26C.32D.308.设L是上半圆上从点到点的弧段，则曲线积分A.B.C.D.9.若区域D由所围成，则=（）（A）；（B）；（C）；（D）2610．若区域D由所围成，则=.（A）；（B）；（C）2；（D）11.若是星形线上半部（取顺时针方向）,的值为().(A)；(B)；(C)；(D)12.设是球域，则三重积分=.（A）；（B）；（C）；（D）.13．(),其中.(A)(B)(C)(D)14.设是平面被圆柱面截出的有限部分，则曲面积分.(A);(B);(C);

3、(D).15．可微,,则().(A)(B)(C)(D)三.解答题1.计算二重积分，其中是由所围成的平面区域。262.计算二重积分，其中。3.计算二重积分，其中，积分区域。4.求，其中D是由圆和所围成的平面区域。5.设闭区域，，为D上的连续函数，且，求。6.设有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线上，曲线积分的值恒为一常数。（1）证明：对右半平面内任意分段光滑简单闭曲线，有；（2）求.7.计算曲面积分其中是曲面的上侧.8.计算二重积分，其中，表示不超过的最大整数.9.计算，其中为。10.计算三重积分，其中是由平面与三个坐标面围成的区域。2611.计算，其中为.12.计算空间曲线积分

4、，其中L为球面与平面之交线。13.计算，其中L为与之交线。14.计算，其中是半球面的上侧。15.计算，其中为柱体的边界外表面。16.已知平面区域，L为D的正向边界，试证：（1）（2）17.求其中，为正的常数，L为从点沿曲线到点的弧。18.计算是被割下的有限部分；19.,其中为锥面夹在之间的外侧.20.,其中是柱面被平面及所截得的在第一卦限内的部分的前侧.21.,其中及所围立体表面的外侧.22.，其中为曲面的外侧。23.计算，其中,为球面表面外侧。2624.计算，其中∑是球体x2+y2+z2≤2z的表面的外侧。25.利用斯托克斯公式计算,其中是球面与平面的交线,从轴正向看为逆时针方向.26

5、.计算二次积分。27.计算二重积分28.计算曲面积分其中是球面（的常数）外侧的上半球面。29.31.计算曲面积分,其中。32.计算重积分:,其中是由所围之立体。-33.计算曲面积分,其中。34.计算积分其中为立体的上半部35.计算,其中[x]为不超过x的最大整数.36.计算曲面积分其中37.计算重积分：其中是由所围之立体.26一、填空题1.设，D表示全平面，则【详解】由题设知，只有当时，被积函数才不为0，即2.设为正向圆周在第一象限中的部分，则曲线积分的值为.【分析】利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分。【详解】正向圆周在第一象限中的部分，可表示为于是=【评注】本题也

6、可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加的线段上用参数法化为定积分计算即可.3.二重积分，其中D是由所围成的区域。【详解】由函数的奇偶性可知,而，其中是由确定的闭域。故.4.设连续，则积分，其中.【详解】265.【分析】显然我们首先遇到的便是函数的积分，而这个函数的原函数是不能表示为初等函数的，因此必须先交换积分顺序再计算累次积分。【详解】由题知积分区域D为由直线和抛物线所围成的，若先对积分，则.于是.6.设是圆的外侧，则曲线积分【详解】由于圆关于，，轴都是对称的，因此，，.其中是在的部分，则二、选择题1.设函数连续，则二次积分等于(B)A.B.C.D.【分析】画出积

7、分区域的草图即可.262.设，，，其中，则(A)A..B..C..D..【分析】都是区域D上的二重积分，只需比较被积函数在D上的大小。【详解】由于在区域D上有，所以，（仅在点处取等号）.于是有.3.设f(x)为连续函数，，则等于(A)2f(2).(B)f(2).(C)–f(2).(D)0.[B]【分析】先求导，再代入t=2求即可。关键是求导前应先交换积分次序，使得被积函数中不含有变量t.【详解】交换积分次序，得=于是，，从而有，故应