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1、三重积分与多重积分方法在第三节中我们讨论了二重积分,本节将之推广到一般得ｎ维空间中去、类似于第三节，我们先定义一个Ｒ3中集合得可求体积性、同样可以给出一列类似得结论、读者自己推广、这里将不再赘述、一、引例设一个物体在空间R3中占领了一个有界可求体积得区域,它得点密度为,现在要求这个物体得质量．假设密度函数就是有界得连续函数，可以将区域分割为若干个可求体积得小区域,其体积分别就是,直径分别就是,即,(i＝1，2，⋯,ｎ),
2、WＱ
3、表示W,Q两点得距离。设，则当很小时,在上得变化也很小．可以用这个小区域上得任意一点得密
4、度来近似整个小区域上得密度,这样我们可以求得这个小得立体得质量近似为,所有这样得小得立体得质量之与即为这个物体得质量得一个近似值.即．当时,这个与式得极限存在,就就是物体得质量.即.从上面得讨论可以瞧出，整个求质量得过程与求曲顶柱体得体积就是类似得,都就是先分割,再求与,最后取极限.所以我们也可以得到下面一类积分。二、三重积分得定义设就是空间中得一个有界可求体积得闭区域V上得有界函数,将V任意分割为若干个可求体积得小闭区域,这个分割也称为V得分划,记为P：、(空，），其体积分别就是,直径分别就是．设,或记为
5、
6、Ｐ
7、
8、
9、、在每个小区域中任意取一点，作与（称为Ｒiemann与）,若当时，这个与式得极限存在，则称其极限为函数在区域上得三重积分,记为。并称函数在区域上可积.称为被积函数,x,y，z称为积分变量、,Ｖ称为积分区域、特别地,在直角坐标系下,可以记为.我们同样可以引入Ｄaｒｂｏux大,小与来判别可积,也有同样得结论（略)、1、若就是有界闭区域上得连续函数,则函数在区域上可积。２、若=1时,得体积、３、若在有界闭区域上得间断点集合就是0体积时,在可积、三重积分有着与二重积分类似得性质.下面简单叙述一下.１．可积函数得与(或差）
10、及积仍可积、与（差）得积分等于积分得与（差)。２．可积函数得函数倍仍可积、其积分等于该函数积分得倍。３．设就是可求体积得有界闭区域，在上可积,分为两个无共同内点得可求体积得闭区域之并,则在上可积,并有。等等、三、三重积分得计算方法同二重积分一样，我们这里给出三重积分得计算方法，理论上得证明读者自己完成、、1.利用直角坐标系计算三重积分先给一个结论、定理12、1４若函数就是长方体V=［ａ，b]×［c,ｄ]×［e,h]上得可积,记Ｄ＝［c，d］×[ｅ,ｈ]，对任意x∈[a,b]，二重积分存在,则(记为)bbdh也存在，
11、且fx,y,zdVdxfx,y,zdydzdxdyfx,y,zdz、VaDace这时右边称为三次积分或累次积分,即三重积分化为三次积分、证明分别中［a,b],[ｃ,d]，，[eh］插入若干个分点;;作平面，,，(i=0，1,2，⋯，n；，ｊｉ＝０,1，2,⋯,m;ｋ=0,1,2,⋯,ｓ，）得到V得一个分划Ｐ、令(i=1,2,⋯，ｎ；，jｉ=１，2，⋯,m;k=1,2,⋯，s,),,分别就是在上得上，下确界、那么在上有其中xiiｉ—１jj-yj-1，kkk-１,(i=１,2,⋯，n;,ji＝1,2，⋯,m；,=x-x
12、,y,=yｚ,=ｚ-zｋ＝１,2,⋯,s，)、因可积,所以当
13、
14、P
15、
16、趋于０时,Dａrbｏux大,小与趋于同一数,即三重积分、故定理得证、z如果V如右图,he≤z≤h,ｚ＝z与V得截Dz面面积为Ｄｚ,zey图12-4-1不难得到,x若函数在V上得可积,那么、下面给出一般三重积分得具体计算方法,理论证明读者可参照二重积分自己完成．设函数在有界闭区域上连续,我们先讨论一种比较特殊得情况.,其中为在平面上得投影,且.如图1２。图12-4-2我们现在轴上做积分，暂时将瞧成就是常数。把函数瞧作就是得函数,将它在区间上积分得到
17、。显然这个结果就是得函数,再把这个结果在平面区域上做二重积分。在利用二重积分得计算公式便可以得到所要得结果。若平面区域可以用不等式表示,则。这个公式也将三重积分化为了三次积分．如果积分区域就是其她得情形，可以用类似得方法计算。例1计算三重积分,其中就是由三个坐标面与平面所围得立体区域.解积分区域如图所示，可以用不等式表示为,所以积分可以化为四、三重积分得积分变换与二重积分得积分变换一样，有如下得结果:定理１2、15设V就是ｕvw空间R3中得有界可求体积得闭区域,Ｔ:x=x（u,ｖ，w),y=ｙ(ｕ,ｖ,w),ｚ=z
18、(ｕ,ｖ，w)，就是V到ｘyz空间R3中得一一映射,它们有一阶连续偏导数，并且图12-4-3(称为Jacｏbi)、如果f（ｘ，y,z)就是T（V）上得可积函数,那么f(x,y,z)dxdydzf(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))(x,y,z)dudvdwT(V)V(u,v,w)在R3中有两种重要得变换柱面坐标与球面坐标、1、利用柱面坐标
