圆心角与圆周角的关系（3）

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1、圆周角和圆心角的关系(三）教学目标(一)教学知识点1．掌握圆周角定理几个推论的内容．2．会熟练运用推论解决问题．(二)能力训练要求1．培养学生观察、分析及理解问题的能力．2．在学生自主探索推论的过程中，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式．(三)情感与价值观要求培养学生的探索精神和解决问题的能力．教学重点圆周角定理的几个推论的应用．教学难点理解几个推论的“题设”和“结论”．教学方法指导探索法．教具准备投影片三张第一张：引例(记作§3．3．2A)第二张：例题(记作§3．3．2B)第三张：做一做(记作§3．3．2C)教学过程Ⅰ．创设问题情境，引入新课[师]请同学们回忆一下我们

2、前几节课学习了哪些和圆有关系的角？它们之间有什么关系？[生]学习了圆心角和圆周角、一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．即圆周角定理．[师]我们在分析、证明上述定理证明过程中，用到了些什么数学思想方法？[生]分类讨论、化归、转化思想方法．[师]同学们请看下面这个问题：(出示投影片§3．3．2A)已知弦AB和CD交于⊙O内一点P，如下图．求证：PA·PB＝PC·PD．[师生共析]要证PA·PB＝PC·PD，可证．由此考虑证明PA、PC为边的三角形与以PD、PB为边的三角形相似．由于图中没有这两个三角形，所以考虑作辅助线AC和BD．要证△PAC∽△PDB．由已知条件可得∠APC与

3、∠DPB相等．如能再找到一对角相等．如∠A＝∠D或∠C＝∠B．便可证得所求结论．如何寻找∠A＝∠D或∠C＝∠B．要想解决这个问题，我们需先进行下面的学习．Ⅱ．讲授新课[师]请同学们画一个圆，以A、C为端点的弧所对的圆周角有多少个？(至少画三个)它们的大小有什么关系？你是如何得到的？[生]所对的圆周角有无数个，它们的大小相等，我是通过度量得到的．[师]大家想一想，我们能否用验证的方法得到上图中的∠ABC＝∠ADC＝∠AEC？(同学们互相交流、讨论)[生]由图可以看出，∠ABC、∠ADC和∠AEC是同弧()所对的圆周角，根据上节课我们所学的圆周角定理可知，它们都等于圆心角∠AOC的一半

4、，所以这几个圆周角相等．[师]通过刚才同学的学习，我们上面提出的问题∠A＝∠D或∠C＝∠B找到答案了吗？[生]找到了，它们属于同弧所对的圆周角．由于它们都等于同弧所对圆心角的一半，这样可知∠A＝∠D或∠C＝∠B．[师]如果我们把上面的同弧改成等弧，结论一样吗？[生]一样，等弧所对的圆心角相等，而圆周角等于圆心角的一半．这样，我们便可得到等弧所对的圆周角相等．[师]通过我们刚才的探讨，我们可以得到一个推论．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．[师]若将上面推论中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，结论成立吗？请同学们互相议一议．[生]如下图，结论不成立．因为一条弦所对的圆周角

5、有两种可能，在弦不是直径的情况下是不相等的．注意：(1)“同弧”指“同一个圆”．(2)“等弧”指“在同圆或等圆中”．(3)“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”．[师]接下来我们看下面的问题：如下图，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角是锐角、直角，还是钝角？你是如何判断的？(同学们互相交流、讨论)[生]直径BC所对的圆周角是直角，因为一条直径将圆分成了两个半圆，而半圆所对的圆心角是∠BOC＝180°，所以∠BAC＝∠90°．[师]反过来，在下图中，如果圆周角∠BAC＝90°，那么它所对的弦BC经过圆心O吗？为什么？[生]弦BC经过圆心O，因为圆周角∠BAC＝90°．连结OB、OC，所以

6、圆心角∠BOC＝180°，即BOC是一条线段，也就是BC是⊙O的一条直径．[师]通过刚才大家的交流，我们又得到了圆周角定理的又一个推论：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．注意：这一推论应用非常广泛，一般地，如果题目的已知条件中有直径时，往往作出直径上的圆周角——直角；如果需要直角或证明垂直时，往往作出直径即可解决问题．[师]为了进一步熟悉推论，我们看下面的例题．(出示投影片§3．3．2B)[例]如图示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC＝AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？[师生共析]由于AB是⊙O的直径，故连接AD．由推论直径所对的圆

7、周角是直角，便可得AD⊥BC，又因为△ABC中，AC＝AB，所以由等腰三角形的三线合一，可证得BD＝CD．下面哪位同学能叙述一下理由？[生]BD＝CD．理由是：连结AD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC．又∵AC＝AB，∴BD＝CD．[师]通过我们学习圆周角定理及推论，大家互相交流，讨论一下，我们探索上述问题时，用到了哪些方法？试举例说明．[生]在得出本节的结论过程中，我们用到了度量与证明的方法．比如说在研究同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等