与圆有关的最值研究（一）

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1、西安高新逸翠园学校“3+1学习共同体”增殖教学研讨课教学设计教师穆银生班级九年级2班授课类型专题研究课题与圆有关的最值问题（一）版本2011年新课标版授课时间2017年2月28日课时安排1课时一、学情分析学生通过九年级下册第三章《圆》的学习已经掌握了圆的一些基本概念和定理，如：垂径定理、圆的对称性、切线的性质、圆心角、圆周角等。但综合运用这些知识解决问题的能力还有待提高。最值问题是中考必考技能，学生在学完三角形、四边形等相关知识后已经掌握了一些利用对称，旋转、全等、相似等方法解决最值问题的方法技巧，但圆有其自身的特殊性，

2、解决与圆有关的最值问题必然要利用圆的这些特殊性。通过本节学习希望能够达到这一目标。二、教材分析本课是专题研究课，没有现成的教材，教师根据以往学生掌握的求最值的一些技能与方法，结合九年级下册第三章《圆》的相关知识，研究圆所具有的特殊性，并由这些特殊性，通过小练习探究，总结出一些几个与圆有关的线段最值。重点是综合应用这几个结论与以往知识解决一些隐藏较深的与圆有关的最值问题。三、教学目标知识与能力1、理解并掌握：圆内一点与圆上各点的连线中，线段过圆心时最长；线段延长线过圆心时最短。2、理解并掌握：圆外一点与圆上各点的连线中，线

3、段过圆心时最长；线段延长线过圆心时最短。3、理解并掌握：直径是圆内最长的弦。4、运用以上结论，并结合圆的相关知识方法解决与圆有关的最值问题。过程与方法1．直观感觉，画出图形；2．特殊位置，比较结果；3．理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量）之间的关系，建立等式，进行转化.情感态度价值观在合作讨论，探索交流中，发展从图中获取信息的能力，渗透数形结合的思想方法通过对实际问题的分析与解决，让学生体验数学的价值，培养学生对数学的兴趣。四、教学重难点教学重点掌握两种与圆有关的最值问题解题思路与分析

4、方法。教学难点学生通过观察、分析、猜想、类比等思想方法主动地发现问题和解决问题。五、思维品质培养目标与圆有关的最值问题，看着无从下手，但只要仔细观察，分析图形，寻找动点变化过程中，变量之间不变的关系与维系条件，分析变与不变的辩证关系，将研究的问题转化为变量与常量之间的关系，就能找到解决问题的突破口！六、教学方法与手段采取变式教学、类比运用、自主探索的教学方式，培养学生研究性学习。七、教学过程设计教师活动预设学生行为探究一：通过以下两个小练习探究：练习1：如图1：点A是⊙O内一点，且OA=2，圆的半径R=5，点M是圆上的一

5、点，则线段AM的最大值为；线段AM的最小值为。图1图2练习2：如图2：点A是⊙O外一点，且OA=9，圆的半径R=5，点M是圆上的一点，则线段AM的最大值为；线段AM的最小值为。结论：圆内一点与圆上各点的连线中，最长；最短。圆外一点与圆上各点的连线中，最长；最短。变式应用：例1：Rt△ABC中，∠ABC=30°，AC=2cm，D是BC中点。△ABC的外接圆上有一点E，则线段DE的最大值为；最小值为。对应练习：△ABC是等腰直角三角形，斜边BC=2，以AC为直径的圆上有一动点D（如右图）。则线段BD的最大值为；最小值为。两个

6、小练习学生很容易通过直观观察得到正确答案由小练习得到结论也不难，但如何证明结论需要认真思考。变式应用的例题与练习学生小组内互助完成。教师活动预设学生行为七、教学过程设计探究二：通过下面的练习3探究：练习3：如右图，点A是⊙O内一点，且OA=1，圆的半径R=2，则：过点A的弦MN的最大值为；最小值为。结论：是圆内最长的弦。变式应用：例2：如图，⊙O的半径为7cm，△ABC内接于圆。其中∠A=30度，E、F分别是AB、AC边的中点。直线EF交⊙O于G、H两点。当弦BC不动，点A在⊙O上运动时，则GE+FH的最大值为。对应练习

7、：Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=4。圆O是△ABC的外接圆，点E在优弧ABC上的动点，△EDC也是直角三角形，且边ED过点A。求△EDC的最大面积探究小练习3的最大值学生很容易想到，只是最小值会有一定的难度。教师需要在学生讨论时给予相应的指导与鼓励，并使学生能理解并接受。为什么MN与OA垂直时MN最短。例2有两个要点：1、如何由圆的半径和圆周角30度，算出弦BC的长。2、要使GE+FH最大，则HG要最大。为什么？对应练习的难点在于分析出点E在圆上运动时，角D的度数总等于30度。这就意味着，CD的长度与CE的长度

8、比为。学生只要经过探索找到这一关系，再结合直径是圆中最长的弦就可以得到正确的解题图径。拓展应用：1、如图6，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD=3，AB=8，则PM长度的最大值是　．图62、如图7，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC