3、结构，称作有限域，又称作Galois域，记作GF(D)：GF(D)=({0,1,…,D-1},(modD)加法,(modD)乘法)。即（1）({0,1,…,D-1},(modD)加法)构成交换群（Abel群）。（2）({1,…,D-1},(modD)乘法)构成交换群（Abel群）。（3）分配率成立：a(b+c)(modD)=ab+ac(modD)。2021/7/194§6.1分组码的概念注1：如果D不是素数，({0,1,…,D-1},(modD)加法,(modD)乘法)不是有限域，只是有限环。注2：有限域GF(D)上的线性代数完全
4、类似于实数域上的线性代数，线性代数的所有内容都在“加法”和“乘法”基础上得到。元素的“加法”负元；非0元的“乘法”逆元；一组向量是否“线性无关”的概念以及所有等价的判别方法；矩阵的“秩”的概念以及所有计算方法；方阵是否“可逆”的所有判别方法；求方阵的“逆阵”的所有算法；关于对称矩阵的所有结论；等等。注3：有限域GF(D)与实数域的区别是：传统的“逼近”、“极限”的概念消失了。2021/7/195例：取D=2，则GF(2)=({0,1},(mod2)加法,(mod2)乘法)。运算规则为：0+0=1+1=0，0+1=1，0×0=0×1
5、=0，1×1=1。方阵是否可逆？回答是肯定的。两种不同的判别方法都能够证明它是可逆的：（1）它经过可逆行变换能够变成单位阵；（2）它的行列式不等于0。（等于1！）2021/7/196§6.1分组码的概念该方阵的逆矩阵是什么？怎样计算？做联合可逆行变换：2021/7/197§6.1分组码的概念例：取D=3，则GF(3)=({0,1,2},(mod3)加法,(mod3)乘法))。运算规则为：0+0=1+2=0，0+1=2+2=1，0+2=1+1=2，0×0=0×1==0×2=0，1×1=2×2=1，1×2=2。矩阵是不是满行秩的？换句
6、话说，此矩阵的三个行向量是不是在域GF(3)上线性无关的？再换句话说，能否保证此矩阵的各行的任何非0线性组合都不是全0的4维向量？再换句话说，此矩阵能否通过一些可逆行变换变成一个“阶梯阵”？2021/7/198§6.1分组码的概念可逆行变换2021/7/199§6.1分组码的概念例：域GF(D)上的一个L行N列的矩阵（L×N阶的矩阵）G，设它是满行秩的（当然此时有L≤N）。则变换(u1,u2,…,uN)=(x1,x2,…,xL)G一定是单射(即(x1,x2,…,xL)的不同值一定变换为(u1,u2,…,uN)的不同值)。证明设u(
7、1)=x(1)G，u(2)=x(2)G，且x(1)≠x(2)。要证明u(1)≠u(2)。根据线性性质，u(1)-u(2)=(x(1)-x(2))G，因为(x(1)-x(2))≠全0的L维向量，所以(x(1)-x(2))G是G的各行的非0线性组合。G满行秩，所以(x(1)-x(2))G≠全0的N维向量。所以u(1)≠u(2)。2021/7/1910§6.1分组码的概念预备知识2：有限域上的分组码当D是素数时，分组码可以充分利用有限域GF(D)的代数运算，使得编码和译码更加简便。2021/7/1911§6.2线性分组码定义取GF(D)
8、上的一个L行N列的矩阵G，它是满行秩的。(N,L)分组码定义为(u1,u2,…,uN)=(x1,x2,…,xL)G其中(x1,x2,…,xL)是信息向量，(u1,u2,…,uN)是对应的码字。（1）称此码为D元(N,L)线性分组码。（2）称矩阵G为
