信息论与编码-第六章

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1、信息论与编码-循环码上次课小结：线性分组码的一些概念：域、矢量空间、线性分组码；生成矩阵和校验矩阵伴随式与译码：伴随式的定义、标准阵列译码表。信息论与编码-循环码循环码是线性分组码中最重要的一类码。循环码的特点是：码集C中任意一个码字经循环移位后仍然是码字。由于构成码集C的k维n重矢量空间的基底也一定是码字，因此，k个基底可以是同一个基底经循环移位得到。所以，只用一个基底就可以表示一个码的特征，也就不需要用矩阵来描述。信息论与编码-循环码描述循环码的重要的数学工具是多项式。设一个码字为，可以用一个称为码多项式的多项式来表示，多项式的系数就是码字的

2、各个码元的值，指数项表示码元在码字中所处的位置，即对于二进制码，。信息论与编码-循环码当C所对应的码字循环移位1位后，得到对应的多项式为所以，可以用多项式乘以x来表示一次循环移位，因此有：循环移1位信息论与编码-循环码以此类推。因为一个码字经过n次循环移位后又变回自身，所以一个码字经循环移位最多产生n个码字。而对于码长为n的码字，共有个不同的码字，因此，不可能由一个码字经循环移位得到所有可能的码字。但是，可以由一个基底矢量经循环移位得到所有k个基底矢量，所有的码字都可以由这k个基底的线性组合构成。信息论与编码-循环码信息论与编码-循环码因此，设对

3、应一个码字，则其线性组合：其中，A(x)是任意多项式，是一个码多项式。也就是说，任意一个码多项式与一个多项式之积，仍然是一个码多项式。上述运算是在模运算的前提下，即信息论与编码-循环码从多项式的性质出发，根据近世代数理论，可以得到以下结论：(1)一个(n,k)循环码的码多项式是模(xn+1)乘运算下多项式交换环的一个主理想子环，反之，多项式交换环的一个主理想子环一定可以产生一个循环码。而主理想子环中的所有码多项式都可以由其中一个元素(码多项式)的倍式组成，这个元素称为该主理想子环的生成元，或称它为对应循环码的生成多项式。生成多项式不是唯一的，但总

4、有一个是最低的。信息论与编码-循环码（2）GF(2)上的（n，k）循环码中，存在着唯一的一个次数最低（n-k次）的首一（即第一项的系数为1）码多项式g(x)：使得所有的码多项式都是g(x)的倍式，即且所有小于n次的g(x)的倍式都是码多项式。g(x)称为生成多项式。信息论与编码-循环码（3）（n，k）循环码的生成多项式g(x)一定是的因子，写为，或。反之，如果g(x)是的（n-k）次因子，则g(x)一定是（n，k）循环码的生成多项式。信息论与编码-循环码（n，k）循环码的构造方法为：（1）对做因式分解，找出其（n-k）次因子；（2）以该（n-k）

5、次因子为生成多项式g(x)，与信息多项式m(x)相乘，得到的多项式C(x)=m(x)g(x)即为码多项式。信息论与编码-循环码例题：研究一个长度为7的循环码的构成方法。解：根据上面的循环码编码方法，首先对做因式分解，得到信息论与编码-循环码所以，的因子共有以下几种：：次数为1（1个）；，：次数为3（2个）；，：次数为4（2个）；：次数为6（1个）；如果给定了n和k，那么只能选用满足要求的（n-k）次多项式作为生成多项式，本题中没有要求k，可以选用不同的多项式做生成多项式，当然会得到不同的码集。信息论与编码-循环码设选取为生成多项式，则n-k=3，

6、k=4，所以信息多项式为信息码组共有16种不同的组合，因此，共有16个码字。例如则循环编码后的码多项式为对应的码字为（0101110）。信息论与编码-循环码相同地，可以得到不同信息组的时候的码字。可以看出，码集中有四组码字循环信息比特码字（循环1）信息比特码字（循环2）信息比特码字（循环3和4）00010010010010001101011111100001101001101001101001101000101000101000111000110001101101100010110101001111100101110101110101110001

7、110011110010110010110010110000101100000001111111信息论与编码-循环码一致校验多项式如果分解为，选g(x)为生成多项式，则h(x)称为码的一致校验多项式，阶次为k，和校验矩阵类似，校验多项式满足：当然，也可以选择h(x)为码生成多项式，则g(x)就是一致校验多项式。因此，由g(x)生成的（n，k）码和由h(x)生成的（n，k）码互为对偶码。信息论与编码-循环码循环码是线性分组码的一种。对于线性分组码，可以用生成矩阵来描述。具体到循环码，则简化为生成多项式。因此也一定可以用生成矩阵来描述循环码。所谓生成

8、矩阵，就是码空间的一组基底。而生成多项式及其移位后的一组多项式，就可以作为一组基底，因此，如果循环码的生成多项式为信息论与编码-循环码则