信息论与编码理论基础(第五章)53674

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1、第五章：信道编码定理（一）§5.1离散信道编码问题§5.2~3离散信道编码定理2021/7/181§5.1离散信道编码问题最简单的检错和纠错单个的字无法检错：扪→？词汇能够检错：我扪的→我扪的词汇能够纠错：我扪的→我们的，我等的，我辈的，我班的，…原因分析：“扪→？”可以有几万个答案，但“我扪的→？”的答案却很少。结论：课文以及词汇的概率分布的稀疏性可以用来检错和纠错。2021/7/182§5.1离散信道编码问题设信道是一个D元字母输入/D元字母输出的DMC信道，字母表为{0,1,…,D-1}。其信道转移概率矩阵为D×D矩阵如下。这是一个对称信道。信

2、道传输错误的概率定义为P(输出不等于k

3、输入为k)=p，k∈{0,1,…,D-1}。此处p<(1-p)。2021/7/183§5.1离散信道编码问题设信源消息序列经过D元信源编码（等长编码或不等长编码）后变成了如下的随机变量序列…X-2X-1X0X1X2…，其中每个随机变量Xl的事件全体都是D元字母表{0,1,…,D-1}。将此随机变量序列切割成L维随机向量准备输入信道：(X1X2…XL),(XL+1XL+2…X2L),…。如果直接将(X1X2…XL)输入信道，信道的输出为(X1’X2’…XL’)，则①当信道传输错误时无法检测到（即接收方无法确知是否

4、正确接收）。②正确接收的概率为P((X1’X2’…XL’)=(X1X2…XL))=P(X1’=X1)P(X2’=X2)…P(XL’=XL)=(1-p)L。2021/7/184§5.1离散信道编码问题将(X1X2…XL)进行变换：C(X1X2…XL)=(U1U2…UN)，其中(U1U2…UN)为N维随机向量，N≥L，且变换是单射（即(X1X2…XL)的不同事件映射到(U1U2…UN)的不同事件）。将(U1U2…UN)输入信道；信道的输出为(Y1Y2…YN)；再根据(Y1Y2…YN)的值猜测出输入信道的值(U1’U2’…UN’)，并根据变换式(U1’U2

5、’…UN’)=C(X1’X2’…XL’)将(U1’U2’…UN’)反变换为(X1’X2’…XL’)。如果(X1’X2’…XL’)=(X1X2…XL)，则正确接收。2021/7/185§5.1离散信道编码问题（1）(X1X2…XL)的事件共有DL个，因此(U1U2…UN)的事件共有DL个，占N维向量值的份额为DL/DN=1/DN-L。因此当信道传输错误时，有可能使输出值(Y1Y2…YN)不在这1/DN-L份额之内。这就是说，信道传输错误有可能被检测到。（2）如果精心地设计变换C(X1X2…XL)=(U1U2…UN)和猜测规则(Y1Y2…YN)→(U1’

6、U2’…UN’)，则正确接收的概率远远大于(1-p)L。（3）变换(X1X2…XL)→(U1U2…UN)=C(X1X2…XL)称为信道编码，又称为(N,L)码。一个事件的变换值称为该事件的码字。L称为信息长，N称为码长。2021/7/186§5.1离散信道编码问题（4）过程(Y1Y2…YN)→(U1’U2’…UN’)→(X1’X2’…XL’)称为纠错译码。当(X1’X2’…XL’)=(X1X2…XL)时称为正确译码（实际上就是正确接收）。（5）N比L大得越多，1/DN-L份额越小，码字的分布越稀疏，信道传输错误不在这1/DN-L份额之内的可能性越大，

7、即信道传输错误越容易被检测到。但N比L大得越多，信道传输的浪费越大。（6）称R=L/N为编码速率，也称为信息率。（似乎与信源编码相互倒置？）（7）注解：“(X1X2…XL)不进行编码”实际上也是一种编码，称为恒等编码。此时N=L，事件x=(x1x2…xL)的码字就是x自身。2021/7/187§5.1离散信道编码问题关于译码准则译码准则就是猜测规则。当信道的输出值为y时，将其译为哪个码字u最合理？最大后验概率准则简记b(u

8、y)=P((U1U2…UN)=u

9、(Y1Y2…YN)=y)。称b(u

10、y)为后验概率。最大后验概率准则：2021/7/188§5

11、.1离散信道编码问题后验概率的计算：记q(u)=P((U1U2…UN)=u)，称q(u)为先验概率；pN(y

12、u)=P((Y1Y2…YN)=y

13、(U1U2…UN)=u)，我们知道p(y

14、u)是信道响应特性，而且pN(y

15、u)=P(Y1=y1

16、U1=u1)P(Y2=y2

17、U2=u2)…P(YN=yN

18、UN=uN)=(p/(D-1))d(1-p)N-d，其中d是(y1y2…yN)与(u1u2…uN)对应位置值不相同的位数；（以后将称d为Hamming距离）2021/7/189§5.1离散信道编码问题记w(y)=P((Y1Y2…YN)=y)。我们知道202

19、1/7/1810§5.1离散信道编码问题最大似然概率准则最小距离准则（最小错误准则）y与u的Hamming距