工程数学第7讲

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1、工程数学第7讲本文件可从网址http://math.vip.sina.com上下载(单击ppt讲义后选择'工程数学'子目录)123由此,当zz0时,得而y(z)=1/j(z)在z0解析,并且y(z0)0,所以z0是f(z)的m级极点.[证毕]这个定理为判断函数的极点提供了一个较为简单的方法.4565.函数在无穷远点的性态如果函数f(z)在无穷远点z=的去心邻域R<

2、z

3、<内解析,称点为f(z)的孤立奇点.78规定,如果t=0是j(t)的可去奇点,m级极点或本性奇点,则称点z=是f(z)的可去奇点,m级极点或本性奇点.由于f(z)在R<

4、z

5、<+内解析,所以在

6、此圆环域内可以展开成洛朗级数,根据(4.4.5)与(4.4.8),C为R<

7、z

8、<+内绕原点任何一条简单正向闭曲线9如果在级数(5.1.6)中i)不含负幂项,ii)含有有限多的负幂项,且t-m为最高幂,iii)含有无穷多的负幂项,则t=0是j(t)的i)可去奇点,ii)m级极点,iii)本性奇点.10因此,在级数(5.1.5)中,i)不含正幂项;ii)含有限多的正幂项,且zm为最高幂;iii)含有无穷多的正幂项;则z=是f(z)的i)可去奇点;ii)m级极点;iii)本性奇点.11121314§2留数151.留数的定义及留数定理如果函数f(z)在z0的邻域内

9、解析,那末根据柯西-古萨基本定理但是,如果z0为f(z)的一个孤立奇点,则沿在z0的某个去心邻域0<

10、z-z0

11、

12、除有限个孤立奇点z1,z2,...,zn外处处解析.C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线,则Dz1z2z3znC1C2C3CnC18[证]把在C内的孤立奇点zk(k=1,2,...,n)用互不包含的正向简单闭曲线Ck围绕起来,则根据复合闭路定理有19求函数在奇点z0处的留数即求它在以z0为中心的圆环域内洛朗级数中c-1(z-z0)-1项的系数即可.但如果知道奇点的类型,对求留数可能更有利.如果z0是f(z)的可去奇点,则Res[f(z),z0]=0,因为此时f(z)在z0的展开式是泰勒展开式.如果z0是本性奇点,则没有太好的办法,只好将其按洛朗级数展开.如果z0是极点,

13、则有一些对求c-1有用的规则.202.留数的计算规则规则1如果z0为f(z)的一级极点,则规则2如果z0为f(z)的一级极点,则21事实上,由于f(z)=c-m(z-z0)-m+...+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+...,(z-z0)mf(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+...+c-1(z-z0)m-1+c0(z-z0)m+...,令两端zz0,右端的极限是(m-1)!c-1,两端除以(m-1)!就是Res[f(z),z0],因此即得(5.2.5),当m=1时就是(5.2.4)222324由规则1,得25我们也可以

14、用规则III来求留数:这比用规则1要简单些.26272829303.在无穷远点的留数设函数f(z)在圆环域R<

15、z

16、<内解析,C为圆环域内绕原点的任何一条简单闭曲线,则积分的值与C无关,称其为f(z)在点的留数,记作积分路线的方向是负的.31定理二如果函数f(z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点,那末f(z)在所有各奇点(包括点)的留数总和必等于零.[证]除点外,设f(z)的有限个奇点为zk(k=1,2,...,n).又设C为一条绕原点的并将zk(k=1,2,...,n)包含在它内部的正向简单闭曲线,则根据留数定理与在无穷远点的留数定义,有323334§3留数在

17、定积分计算上的应用351.形如的积分,其中R(cosq,sinq)为cosq与sinq的有理函数.令z=eiq,则dz=ieiqdq,36其中f(z)是z的有理函数,且在单位圆周

18、z

19、=1上分母不为零,根据留数定理有其中zk(k=1,2,...,n)为单位圆

20、z

21、=1内的f(z)的孤立奇点.37例1计算的值.[解]由于0

22、z

23、=1内