第7讲新数学的诞生

《第7讲新数学的诞生》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第7讲新数学的诞生在此前的几讲里，我们通过向大家介绍古代的希腊科学和中国科学，并重点通过科学革命，其中包括哥白尼革命、牛顿革命等事例，对科学的内涵、意义、作用、模式、及其传统进行了部分阐释。从中我们可以看到，对各种基本问题的关注，往往是促成重大科学发现、推动科学进步的一个重要前提。另外，从古希腊毕达哥拉斯学派提出的“万物皆数”观念，遍历哥白尼、开普勒、伽利略、牛顿探索并构建的宇宙数学模型，直到上一讲我们提及的“笛卡尔之梦”，都从一个侧面说明了作为“科学皇后”的数学，对于整个科学的重要作用。伽利略的话，即宇宙“这本书是用数学的语言写成的”，已为我们所熟知。

2、其实，在此之前，文艺复兴运动的代表人物达·芬奇也曾说过：“一个人若怀疑数学的极端可靠性，他就会陷入混乱之中，……人类的一切探讨活动如果缺少数学上的说明和论证，那就不能称之为科学。”正是在这种数学化思想认识的指导下，挣脱了中世纪宗教樊篱的科学活动，开始突现出蓬勃发展的趋势，并为数学的复苏提出了新要求，提供了新动力。1.代数学的新生1.1近代代数学的进展人们习惯上将阿拉伯数学家花拉子米视为代数学的始祖。“代数学”这一术语即来源于他的传世名著《代数学》（al-Kitabal-mukhtasarfihisabal-jabrwa’l-muqabala。约820年）

3、。该书所讨论的数学问题大都比丢番图和印度人所讨论的数学问题简单，但它在数学思想上有一处明显的进步：它探讨算术问题的一般性解法。而丢番图《算术》中所记载的数学问题，基本上是一题一法，而且多数需要依赖于高度的运算技巧才可获解。有人曾抱怨说，“研究了丢番图的一百道问题之后，人们还是不知道怎样去解第一百零一个问题”。尽管花拉子米在其《代数学》一书中，运用代数方式处理了线性方程组与二次方程，第一次引进了移项、同类项合并等代数运算，并给出了一元二次方程的一般解法及几何论证，还指出了二次方程有无（实）根的条件等。但他在当时，还无法看到这种一般性方法对于数学意味着什么。

4、实际上，他所研究的根本对象仍然是数。按照我们今天的观点，他的研究领域实质上仍然局限于算术。完全意义上的代数学，需要符号系统的引入，才可获得真正的新生。只有等到符号化体系之后，代数才成为一门独立的科学。近现代数学最为明显的标志之一，就是普遍地使用了数学符号，它体现了数学学科的高度抽象与简练。数学符号的系统化首先归功于法国数学家韦达，其符号体系的引入导致了代数性质上的重大变革。韦达以辅音字母表示已知量，元音字母表示未知量。他把符号性代数称作“类的算术”，并规定了算术与代数的分界，认为代数运算施行于事物的类或形式，算术运算仅施行于具体的数，使代数成为研究一般类

5、型的形式和方程的学问，因其抽象而应用更为广泛。韦达的这种做法受到后人的赞赏，并被吉拉德和奥特雷德所继承。特别是通过后者的著作《实用分析术》，在数学研究中使用符号逐渐成为一种风尚。当然，韦达的符号代数并非没有缺陷，比如，他的符号代数保留了一种齐性原则，即体积与体积相加，面积与面积相加。这一障碍直到笛卡尔解析几何的诞生才得到消除。笛卡尔在其《几何学》中以任意选取的单位线段为基础，定义了线段的加、减、乘、除、乘方、开方等运算。他以独特的字母符号来表示线段，由于他可用线段表示积、幂等，这样就突破了“齐次性”的束缚，而在几何中自由运用算术或代数术语，从而将几何问题

6、化为代数问题。笛卡尔还改进了韦达的代数符号系统，他首先用拉丁字母的前几个表示已知量，后几个表示未知量，成为今天的习惯。41继花拉子米一般性地解决了线性方程和二次方程的求解问题之后，三次方程和四次方程的求解问题开始成为数学中一个倍受人们普遍关注的基本问题。然而，截止15世纪末，各种探索皆以失败而告终，这使得有些人开始怀疑三、四次方程与化圆为方问题一样难以解决。直到1515年，波伦亚大学的数学教授费罗（S.Ferro,1465-1526）终于在此方向上获得了第一个突破。他发现了形如x3+px=q(p,q>0)的三次方程的代数解法。1535年，意大利的另一位数

7、学家塔塔利亚宣称自己还可以解形如x3+px2=q(p,q>0)的三次方程。然而，按照当时的风气，学者们多不愿公开自己的研究成果，因此，这些方程的解法仍是一种秘密。1545年，一位米兰学者卡尔丹诺（G.Cardano,1501-1576）突然出版了一本专著《大法》（ArsMagna），向世人公开了上述方程的解法。现在我们都习惯于将其称为卡尔丹诺公式。卡尔丹诺还在《大法》中收录了其弟子费拉里（L.Ferrari,1522-1565）对四次方程的根式解法。因此，《大法》一书包含了三次和四次方程的解法。其中包含的四次方程皆通过一定的代换，转化为可解的三次方程获得

8、根式求解。在对三次方程的求解过程中，会出现一种所谓的“不可约”情形，这实质上是与