第7讲数学物理方程.ppt

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1、一个周期函数f(t)，周期，满足狄里赫利条件，即函数在一个周期内有有限个极值点和第一类间断点，则f(t)可展开成三角函数系数为第二章分离变量法§1傅里叶级数第二章分离变量法§1傅里叶级数指数形式的傅里叶级数其中基本思想：首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。适用范围：波动问题、热传导问题、稳定场问题等特点：a.物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证；b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。§2齐次方程齐次边界条件的定解

2、问题代入方程：令代入边界条件1求两端固定的弦自由振动的规律一有界弦的自由振动令(4)(6)(7)（5）本征（固有）值问题：含有待定常数常微分方程在一定条件下的求解问题本征（固有）值：使方程有非零解的常数值本征（固有）函数：和特征值相对应的非零解分情况讨论：1）2）3）令，为非零实数（8）（9）把（8）式代入（6）式，得（10）其中Cn和Dn是任意常数。将(9)(10)代入(4)式，得(11)式满足方程(1)和边界条件(2)，但一般不满足初始条件(3)。为了满足(3)式，按照解的叠加原理，将(11)式对n求和，即（11

3、）（12）将(12)式代入(3)式，得到故定解问题的解为其中▪分离变量▪求特征值和特征函数▪求另一个函数▪求通解▪确定常数分离变量法可以求解具有齐次边界条件的齐次偏微分方程。2解的性质x=x0时：其中：驻波法t=t0时：例1：设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为，求弦作微小横向振动时的位移。解：(1)分离变量(2)求本征值和本征函数(3)求另一个微分方程(4)求通解(5)确定常量解：例2求下列定解问题(1)分离变量(2)求本征值和本征函数(3)求另一个微分方程(4)求通解初始条件(5)确定常量二有

4、限长杆上的热传导令带入方程：解：令令带入方程：令例3求下列定解问题解：例4求下列定解问题解：若则u为多少？为什么会出现这样的现象？思考分离变量流程图三拉普拉斯方程的定解问题解：例5求下列定解问题解：例6求下列定解问题解：四非齐次边界条件的处理解：令设：例7求下列定解问题解：令设得