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1、卷积定理与相关函数卷积的概念若已知函数f1(t),f2(t),则积分称为函数f1(t)与f2(t)的卷积,记为f1(t)*f2(t)卷积的图示f1(t)f2(t)tOf2(-t)OttOtf2(t-t)一个函数卷积自己的图示在积分中,令u=t-t,则t=t-u,du=-dt,则即卷积满足交换律.下证卷积满足结合律,即 [f1(t)*f2(t)]*f3(t)=f1(t)*[f2(t)*f3(t)]为此,令则交换二重积分的次序,得令v=t-u,则u=t-v,例1证明f1(t)*[f2(t)+f3(t)]=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)
2、证根据卷积的定义任给函数f(t),都有f(t)*d(t)=f(t),这是因为因此,单位脉冲函数d(t)在卷积运算中起着类似数的运算中的1的作用.在近世代数中,代数(algebra)一词表示两个元素到一个元素的映射规则.比如数的加减乘除,向量的加,内积,矩阵的加和乘,向量或者矩阵乘数,等等,都是代数运算. 如果一个代数运算满足类似加法的性质,如有0元素,有负元素,满足交换律和结合律,则相应的集合叫做加法群,简称群. 如果在加法群上再定义一个被称作乘法的运算,满足交换律和结合律,有1元素,且同相应的加法运算满足分配律,此集合就叫做乘法环,简称环. 如
3、果乘法除0元素外都有逆,则被称作域了.例2若求f1(t)*f2(t)f1(t)1OttOf2(t-t)1t由卷积的定义有tO1-e-t1卷积定理假定f1(t),f2(t)都满足傅氏积分定理中的条件,如f1(t)F1(w)f2(t)F2(w)则f1(t)*f2(t)F1(w)F2(w)以及证按傅氏变换的定义,有相关函数对两个不同的函数f1(t)和f2(t),则积分称为两个函数的互相关函数,记为R12(t),即当f1(t)=f2(t)=f(t)时,积分称为f(t)的自相关函数(简称相关函数).用记号R(t)表示,即根据R(t)的定义,自相关函
4、数是一个偶函数,R(-t)=R(t)事实上,令t=u+t,可得关于互相关函数,有如下的性质:R21(t)=R12(-t)前面已经证明过令f1(t)=f(t),f2(t)=f(t+t),设f(t)F(w),则假设f1(t)F1(w),f2(t)F2(w),称S12(w)=F1(w)F2(w)为互能量谱密度.则即R12(t)S12(w),且易证S21(w)=S12(w)例3求指数衰减函数的自相关函数和能量谱密度tOf(t)1tOf(t+t)1tOf(t+t)1-t-t当t>0时,积分区间为[0,+)当t<0时,积分区间为[-t,+)因此,
5、当6、t)的频谱函数F(w)在 [-2pB,2pB]之外为0.B称为f(t)的带宽.wOF(w)2pB-2pBOtf(t)现对f(t)进行间隔为Dt的采样得g(t)如图所示:Oti1t2...wOG(w)Dw/2g(t)-Dw/2作业习题四第44页第1,4题请提问
