结构稳定理论与设计-6修改

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1、结构稳定理论与设计东南大学土木工程学院舒赣平教授研究生课程结构稳定理论与设计第6章薄板的弹性稳定(屈曲)钢结构大型梁、柱等构件，通常都由板件组合而成，为了节省材料，板件通常设计得宽而薄，薄板在面内压力作用下就可能失稳，并由此导致整个构件的承载力下降；另外，在构件连接的节点也存在板件失稳的可能性。因此，对板件失稳和失稳后性态的研究也是钢结构稳定的重要问题。6.1概述构件在弯曲失稳时其变形仅发生在一个平面内，而板在分枝失稳时的变形发生在两个平面。按板厚的大小，可分为三类：厚板：，需同时考虑弯曲变形与剪切变形；薄板：，忽略剪切变形仅考虑弯曲变形；薄膜：，抗弯刚度近似为零仅靠薄膜张

2、力抵抗外荷。薄板的屈曲，与杆件失稳的主要区别在于薄板到达分枝屈曲荷载后并未达到其极限荷载，即存在屈曲后强度。板的稳定理论分为小挠度理论和无限挠度（大挠度）理论。1.基本假定（1）厚度方向的正应变z、剪应变zx和zy均可忽略不计，即可用板中面的挠度代替沿厚度方向任一点的挠度，且垂直于板中面的直线在板弯曲变形后仍保持直线；xyzhdxdydzxxzyzyzyzxyzxxy6.2薄板的小挠度理论薄板的坐标系及微元体上的应力xyzNyNxNxNyNyxNyxNxyNxy（2）与板厚相比，垂直于板中面的挠度极小，由弯曲引起的板的伸长可忽略不计（即可不计板的薄膜

3、效应）；（3）板为各向同性体，材料符合虎克定律。2.板内的中面力图示薄板承受沿两个方向均匀分布的单位长度上的轴力Nx、Ny及剪力Nxy、Nyx。当薄板屈曲处于微弯平衡状态时，任意单元内存在两组内力：（1）由于板中面伸长产生的轴力；（2）由于板弯曲产生的弯矩及剪力。微面元的中面力分布3.薄板的平衡微分方程（1）中面力在z方向的合力Nx在z方向的分力为：亦即Ny在z方向的分力为：同理得Nxy和Nyx在z方向的分力为：中面力在z方向的总合力为：（1）（2）剪力在z方向的合力与（1）式相加后得z方向的力平衡方程：（2）（3）弯矩平衡条件由对x轴的弯矩平衡条件：略去高阶量后得：（3）

4、同理，由对y轴的弯矩平衡条件可导出：（4）以上三个微分方程需进行合并，（3）（4）两式分别对y和x微分一次后带入（2）式，得（消去Q）：（5）公式有四个未知函数Mx、My、Mxy和w，还需三个关系式才能求解，因不可能再建立平衡关系式，故需考虑板的变形条件。对于薄板，沿厚度方向距中面为z处的应力应变关系为：xydzzdxdyt/2xyyzxyt/2板的应变可用曲率和扭率表示，因：可得：解出此点的应力为：由此可得沿板厚方向的弯矩与扭矩为：式中，称为板的抗弯刚度，微分两次后代入（5）式可得仅关于位移w的薄板稳定微分方程：4.薄板的边界条件（1）简支边挠度w=0，弯矩Mx=

5、0，即，因边界点挠度为零，故其曲率为零，即有：（2）固定边挠度w=0；斜率（3）自由边弯矩Mx=0，即，剪力Qx=0，Mxy=0，即四边简支的矩形板，当仅受x方向的均匀压力Nx作用时：（1）满足四边简支边界条件的解是一个二重三角级数：m=1，2，3….n=1，2，3….m和n分别是板屈曲时在x和y方向的半波数，对挠度w微分后代入（1）式，得：axyNxbNx6.3单向均匀受压板的弹性屈曲因为：否则为平板状态，故满足上式恒为零的唯一条件是括号内的式子为零，解得：或n=1时（y方向一个半波）Nx有最小值，为求得m的取值，令：可解得：　　　即m是x方向的半波数，必须为整数，屈曲荷

6、载可以表示为更普遍的形式：这里k称为板的屈曲系数，屈曲系数与板长及板宽之比有关，且当a/b>4后，k值逐步逼近其最小值4.0。板的最小临界应力：120342468a/bkm=1m=4m=3m=2单位长度均匀受压四边简支板的屈曲形式采用能量法求解示例例题1用瑞利－里兹法求解图示单向均匀受压巨型板的屈曲荷载。板的两个加载边和一个非加载边为简支，另一非加载边自由。总势能例题1用瑞利－里兹法求解图示单向均匀受压巨型板的屈曲荷载。板的两个加载边和一个非加载边为简支，另一非加载边自由。因为px=pxy=0，总势能采用能量法求解示例例题1用瑞利－里兹法求解图示单向均匀受压巨型板的屈曲荷载

7、。板的两个加载边和一个非加载边为简支，另一非加载边自由。因为px=pxy=0，假设板的挠曲面函数满足几何边界条件！代入总势能表达式:采用能量法求解示例例题1用瑞利－里兹法求解图示单向均匀受压巨型板的屈曲荷载。板的两个加载边和一个非加载边为简支，另一非加载边自由。由势能驻值原理，令m=1，可得px最小值一般μ=0.3a>>b采用能量法求解示例屈曲系数与板件长宽比的关系板件屈曲系数（四边简支板）6.4不同面内荷载作用下板的弹性失稳轴心受力时，构成轴心受压柱截面的各板件趋于均匀受压。6.4不同面内荷载作用下板的弹性失稳而