关于等比数列的一个性质及其应用

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1、关于等比数列的一个性质及其应用在解关于等比数列的题目时,若能充分利用等比数列的相关性质,往往能够起到简化运算的作用.本文介绍一个关于等比数列的简单性质,利用它,能够简化一类题目的运算.命题设等比数列的公比,若也是等比数列,则.(推广:①一个等比数列加一非零常数所的新数列非等比数列②证明一个数列是等比数列可以通项入手即中c=0③证明等比数列一般从通项入手)证明:因为为等比数列,则对任意的,有(1)因为是等比数列,所以(2)由(1)(2)两式易得:.因为,所以.下面举例说明命题的应用.例1(2000年数学高考理科试题)(1)已知数列,其中,且数列为等比数列,求常数;(2)设是

2、公比不相等的两个等比数列,,证明数列不是等比数列.(拓广：两个等比数列积、商是等比数列，但两个等比数列的和差一般不是等比数列)解：(1),当时,为等比数列;当时，=,因为数列为等比数列,所以是等比数列,由命题可知,即为等比数列的充要条件是即.综上可知,=或.(2)因为是公比不相等的两个等比数列,则是公比不为1的等比数列.假设是等比数列,则也是等比数列,而由命题知即为等比数列的充要条件是1=0,矛盾.所以不是等比数列.例2:设各项都不相同的等比数列的第一项为,公比为,前项和为,要使数列为等比数列,求P的值。解：因为是以为首项,以为公比的等比数列,又由题意知,所以根据命题有为

3、等比数列的充要条件是=0.故.例3记等比数列{}的前n项和为，是否存在常数c，使对任何自然数n，恒有？解：设{}的公比为q，首项为⑴当q=1时，假设存在c，使得nN时,.即整理得:,显然不成立.所以此时不存在c满足条件。⑵当q1时，有成立，则成等比数列。∵，且与为等比数列。∴根据{}是等比数列的充要条件是=0即又∵∴所以，存在常数，使对任何自然数n，恒有。例4（95高考，理）设是由正数组成的等比数列，是其前n项和。⑴证明：。⑵是否存在常数c，使得成立？并证明结论。分析：首先可将⑴中的对数不等式，⑵中的对数式等价转化为不含对数的不等式和等式，即，，且本文不讨论第一个问题。（

4、第二个问题对比例3，实质上是一个问题，所以可借鉴例三的证明方法得出结论，即不存在正的常数c使成立。）由例三可得c=这时，c0,有0，但0时，不满足条件。