高数9-2二重积分的计算

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1、第二节二重积分的计算法第九章一、利用直角坐标计算二重积分且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为X–型区域则若D为Y–型区域则X型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，在分割后的三个区域上分别使用积分公式则必须分割.例1.计算其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x所围的闭区域.解法1.将D看作X–型区域,则解法2.将D看作Y–型区域,则作草图、选择类型、确定上下限------后积先定限、限内化条线例2.计算其中D是抛物线所围成的闭区域.解1:及直线1例2.计算其

2、中D是抛物线所围成的闭区域.解2:为计算简便,后对y积分,及直线则例3.计算其中D是直线所围成的闭区域.解:由被积函数可知,先对x积分不行,说明:选择积分序的原则：先积分的容易，并能为后积分创造条件；积分域的划分，块数越少越好例4.交换下列积分顺序解:积分域由两部分组成:视为Y–型区域,则例5.计算其中D由所围成.解:令(如图所示)显然,二、利用极坐标计算二重积分则除包含边界点的小区域外,小区域的面积及射线=常数,分划区域D为在极坐标系下,用同心圆=常数对应有在内取点即则1、极点在边界外注意：积分域的边界曲线用极坐标表示如何确定上下限？2、极点在边界上(1)(2)3、极点在边界

3、内何时选用极坐标？积分域D形状：圆域、环域、扇域、环扇域被积函数形式：例6.计算其中解:在极坐标系下原式的原函数不是初等函数,故本题无法用直角由于故坐标计算.注:利用例6可得到一个反常积分公式Rs1s2例7.求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解:由对称性可知o例8:其中D为由圆所围成的及直线解：平面闭区域.例9.交换积分顺序提示:积分域如图第三节一、三重积分的概念二、三重积分的计算三重积分第九章一、三重积分的概念类似二重积分解决问题的思想,采用引例:设在空间有限闭区域内分布着某种不均匀的物质,求分布在内的物质的可得“大化小,常代变,近似和,求极限”解决方法:

4、质量M.密度函数为定义.设存在,称为体积元素,若对作任意分割:任意取点则称此极限为函数在上的三重积分.在直角坐标系下常写作三重积分的性质与二重积分相似.性质:下列“乘积和式”极限记作二、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分方法1.投影法(“先一后二”)方法2.截面法(“先二后一”)如图，方法1.投影法得其中为三个坐标例1.计算三重积分所围成的闭区域.解:面及平面例2.计算三重积分解:解方法2.截面法记作例2.计算三重积分解:用“先二后一”注：被积函数为一元函数时，多选用截面法例3.计算积分其中是两个球(R>0)的公共部分.提示:由于被积函数缺x,y,原式=利用“截面

5、法”计算方便.小结:直角坐标系三重积分的计算方法方法1.“先一后二”方法2.“先二后一”“三次积分”具体计算时应根据二种方法(包含6种次序)各有特点,被积函数及积分域的特点灵活选择.例4：设计算提示:利用对称性原式=奇函数灵活应用对称性：例5：计算解：积分域关于y=x、y=z、x=z平面对称1.将用三次积分表示,其中由所提示:六个平面围成,2.利用柱坐标计算三重积分就称为点M的柱坐标.直角坐标与柱面坐标的关系:坐标面分别为圆柱面半平面平面如图所示,在柱面坐标系中体积元素为因此其中适用范围:1)积分域表面用柱面坐标表示时方程简单;2)被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.其中为

6、由例1.计算三重积分所围解:在柱面坐标系下及平面柱面成半圆柱体.例2.计算三重积分解:在柱面坐标系下所围成.与平面其中由抛物面原式=解知交线为解所围成的立体如图，所围成立体的投影区域如图，3.利用球坐标计算三重积分就称为点M的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系坐标面分别为球面半平面锥面如图所示,在球面坐标系中体积元素为因此有其中适用范围:1)积分域表面用球面坐标表示时方程简单;2)被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.例5.计算三重积分解:在球面坐标系下所围立体.其中与球面例6.求曲面所围立体体积.解:由曲面方程可知,立体位于xoy面上部,利用对称性,所求立体体积为yoz面对称

7、,并与xoy面相切,故在球坐标系下所围立体为且关于xoz解例9.计算其中解:利用对称性例10.设由锥面和球面所围成,计算提示:利用对称性用球坐标