大学高数下 二重积分的计算.ppt

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1、第二节二重积分的计算一、利用直角坐标系计算二重积分三、利用极坐标系计算二重积分二、利用积分域和被积函数的对称性计算二重积分先将二重积分化为二次积分，然后先后计算两次定积分求得二重积分的值.如果积分区域D可表示为：其中函数、在区间上连续.一、利用直角坐标系计算二重积分1、x－型区域则D称为x－型区域.应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得如果积分区域D可表示为：其中函数、在区间上连续.2、y－型区域则D称为y－型区域.x－型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.y－型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线

2、与区域边界相交不多于两个交点.1)如果积分区域D可表示为x－型区域又可表示为y－型区域，且f(x,y)在D上连续，则有：3、其他情形采用哪一种次序积分就取决于被积函数的结构.2)如果积分区域D不是x－型区域也不是y－型区域，可用平行坐标轴的直线段分割，把D分割为若干个两类标准区域，在每个标准区域上计算二重积分，再根据重积分对区域可加性，在各个标准区域上的积分之和就是D上的二重积分.若区域如图，在分割后的三个区域上分别使用积分公式则必须分割.例1解①求曲线的交点：②画出草图并将区域写成不等式形式：③计算：计算二重积分的几点说明：1)化二重积分为二次

3、积分的关键是：确定二次积分的上、下限，而二次积分中的上、下限又是由区域D的几何形状确定的，因此计算二重积分应先画出积分区域D的图形.2)第一次积分的上、下限是函数或常数，而第二次积分中的上、下限一定是常数，且下限要小于上限.3)积分次序选择的原则是两次积分都能够积出来，且区域的划分要尽量地简单.解①②如图③解积分区域如图解积分区域如图解解例11解先去掉绝对值符号，如图二、利用积分域和被积函数的对称性计算二重积分A三、利用极坐标系计算二重积分二重积分化为二次积分的公式（１）1、极点O在D的外部区域特征如图区域特征如图二重积分化为二次积分的公式（２）

4、区域特征如图2、极点O在D的边界上极坐标系下区域的面积二重积分化为二次积分的公式（３）区域特征如图3、极点O在D的内部法二:积分区域关于x轴对称,解解解解解解二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）四、小结［y－型］［x－型］（在积分中注意使用对称性）二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用对称性）思考题思考题解答思考题思考题解答练习题练习题答案练习题练习题答案