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1、第二章函数§2.1映射与函数基础知识自主学习要点梳理1.映射（1）定义：设A，B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的，在集合B中都有的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合A，B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做的映射，记作f：A→B.任何一个元素唯一集合A到集合B（2）象和原象：给定一个集合A到集合B的映射，且a∈A，b∈B，如果元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的，元素a叫做元素b的.2.函数（1）函数的定义设A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的，在集合
2、B中都有，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作y=f(x),x∈A.x的取值范围A叫做函数的，叫做函数的值域.象原象任意一个数x唯一确定的数f(x)和它对应定义域函数值的集合{f(x)
3、x∈A}（2）函数的三要素、和.（3）函数的表示法表示函数的常用方法：、、.3.反函数（1）定义函数y=f(x)（x∈A）中，设它的值域为C，根据这个函数中x，y的关系，用y把x表示出来，得到x=φ(y).如果对于y在C中的，通过x=φ(y)，x在A中都有和它对应，那么,x=φ(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这定义
4、域值域对应法则解析法列表法图象法任何一个值唯一的值样的函数x=φ(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的，记作，习惯上用x表示自变量，用y表示函数，把它改写成.（2）互为反函数的函数图象的关系函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f-1(x)的图象关于直线对称.反函数x=f-1(y)y=f-1(x)y=x基础自测1.设集合M={x
5、0≤x≤2}，N={y
6、0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有（）A.①②③④B.①②③C.②③D.②解析由映射的定义，要求函数在定义域上都有图象，并
7、且一个x对应着一个y，据此排除①④，选C.D2.给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②f（x）=是函数；③函数y=2x（x∈N）的图象是一条直线；④f（x）=与g(x)=x是同一个函数.其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个解析由函数的定义知①正确.∵满足f（x）=的x不存在，∴②不正确.又∵y=2x（x∈N)的图象是一条直线上的一群孤立的点，∴③不正确.又∵f（x）与g（x）的定义域不同，∴④也不正确.A3.下列各组函数是同一函数的是（）解析排除A；排除B；当即x≥1时,y=
8、x
9、+
10、x-1
11、=2x
12、-1,排除C.故选D.答案D4.函数f(x)=3x+5,x∈［0,1］的反函数f-1(x)=.解析∵y=3x+5,又0≤x≤1,∴5≤y≤8,∴f(x)的反函数为y5.已知f（）=x2+5x,则f(x)=.解析题型一求函数的解析式【例1】（1）设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2)，且图象在y轴上的截距为1，被x轴截得的线段长为，求f(x)的解析式；（2）已知（3）已知f(x)满足2f(x)+=3x,求f(x).问题（1）由题设f（x）为二次函数，故可先设出f（x）的表达式，用待定系数法求解；问题（2）已知
13、条件是一复合函数的解析式，因此可用换元法；问题（3）已知条件中含x，，可用解方程组法求解.题型分类深度剖析思维启迪解（1）∵f（x）为二次函数，∴设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，且f(x)=0的两根为x1,x2.由f(x-2)=f（-x-2），得4a-b=0.①②由已知得c=1.③由①、②、③式解得b=2,a=,c=1,∴f（x）=x2+2x+1.探究提高求函数解析式的常用方法有：(1)代入法，用g(x)代入f(x)中的x,即得到f［g(x)］的解析式；(2)拼凑法，对f［g(x)］的解析式进行拼凑变形，使它能
14、用g(x)表示出来，再用x代替两边的所有“g(x)”即可；(3)换元法，设t=g(x),解出x,代入f［g(x)］，得f(t)的解析式即可；(4)待定系数法，若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值，确定相关的系数即可；(5)赋值法，给变量赋予某些特殊值，从而求出其解析式.知能迁移1（1）已知f(+1)=lgx，求f（x）；(2)已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）-2f(x-1)=2x+17，求f（x）.解(1)（2）设f（x）=ax+b（a≠0），则3f（x+1）-2f（x-1）=3ax+
15、3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17，∴a=2，b=7，故f（x）=2x+7.题型二分段函数【例2】设函数f(x)=若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x解的个数为（）A.1B.2C.3D.4求方程f(x)=x的解的个数，先用待定系数法求f（x）的解析式，再用数形结合或解方程.思
