高中数学——面面垂直的性质

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1、两个平面垂直的性质如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直面面垂直的判定定理符号表示：ABCD线面垂直面面垂直线线垂直两个平面垂直的判定：（１）利用定义［作出二面角的平面角，证明平面角是直角］（２）利用判定定理［线面垂直　　　面面垂直］如果两个平面垂直，那么一个平面内的直线是否一定垂直于另一个平面？想一想你得到了什么？面面垂直的性质定理：已知：平面α⊥平面β，α∩β=CD，求证：AB⊥β证明：∩ABα，AB⊥CD.在平面β内过B点作BE⊥CD，又∵AB⊥CD，∴∠ABE就是二面角α—CD—β的平面角，∴∠ABE=90。即A

2、B⊥BE又∵CD∩BE=B，∴AB⊥β.如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面面面垂直的性质定理AB线面垂直面面垂直线线垂直例1.求证:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一的平面内.已知：⊥⊥求证：•P•P证明:设过点P在平面内作直线⊥则⊥因为经过一点只能有一条直线与垂直,所以直线与重合.面面垂直的性质：如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一的平面内.两个平面垂直

3、的性质[两个平面垂直的性质定理1]如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．[两个平面垂直的性质定理2]如果两个平面垂直，那么经过第一个平面的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．练习．在互相垂直的两个平面中，下列命题中正确命题的个数为[   ]①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数多条直线；③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．A．3           B．2          

4、    C．1                D．0例2、如图4，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点，过动点C的直线VC垂直于⊙O所在平面，D、E分别是VA、VC的中点，直线DE与平面VBC有什么关系？试说明理由．例3、如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。已知：α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l求证：l⊥γαβγlABDMECAB解（1）∵平面AED⊥平面ABCD又CD⊥AD∴CD⊥平面AED∵AE在平面AED内∴CD⊥EA2）过E作EM⊥AD于点M，连MC∵平面AED⊥平面ABCD∴EM⊥平面ABCD∴∠AMC即为直线EC与平

5、面ABCD所成的角2、“转化思想”线面关系线线关系面面关系线面平行线线平行线面垂直线线垂直面面垂直面面平行四、课堂小结1、两个平面垂直的性质定理BCADPQBACDE证明：（1）∵平面ABC⊥平面DBC又DC⊥BC∴DC⊥平面ABC∵AB在面ABC内∴DC⊥AB又AB⊥AC，AC∩CD=C，AC，AD在面ACD内∵AB⊥平面ACD而AB在平面ABD，∴平面ABD⊥平面CAD（2）过C作CE⊥AD于点E∵平面ABD⊥平面CAD∴CE⊥平面CAD即C到平面BAD的距离为BACDEDCEABMN练习4在正方体ABCD—A1B1C1D1中,(1)求证：平面A1C

6、⊥平面B1DACDA1C1D1EFＢB1(2)若E、F分别是AB、BC的中点，求证：平面A1C1FE⊥平面B1D(3)若G是BB1的中点求证：平面A1C1G⊥平面B1DGGGG