高中数学3-1-1空间向量及其加减运算

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1、经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念．掌握空间向量的加法、减法运算．3.1.1空间向量及其加减运算3.1空间向量及其运算【课标要求】1．2．空间向量的基本概念和性质．(难点)空间向量的加减法运算．(重点)【核心扫描】1．2．空间向量的概念自学导引1．名称定义空间向量在空间中，具有_____和_____的量叫做空间向量，其大小叫做向量的_____或___.单位向量长度或模为___的向量.零向量_______的向量.相等向量方向_____且模_____的向量.相反向量_____相反且___相

2、等的向量.大小方向长度模1长度为0相同相等方向模试一试：在空间中，将所有的单位向量的起点移到同一点A，那么它们的终点构成怎样的图形？提示球面．空间向量的加减法与运算律空间向量的加减法＝类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)：加法运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)a＋ba－b2．空间向量的理解空间向量与平面向量没有本质区别，都是表示既有大小又有方向的量，具有数与形的双重性．形的特征：方向、长度、夹角等；数的属性：大小、正负、可进行运算等．空间向量的数形双重

3、性，使形与数的转化得以实现，利用这种转化可使一些几何问题利用数的方式来解决．空间向量和有向线段不是同一概念，有向线段只是空间向量的一种几何直观表示法．几类特殊向量(1)零向量和单位向量均是从向量模的角度进行定义的，

4、0

5、＝0，单位向量e的模

6、e

7、＝1.名师点睛1．2．(2)零向量不是没有方向，它的方向是任意的．(3)注意零向量的书写，必须是0这种形式．(4)两个向量不能比较大小，若两个向量的方向相同且模相等，称这两个向量为相等向量，与向量起点的选择无关．向量的加减法法则空间任意两个向量都是共面的，它们的加减法

8、运算类似于平面向量的加减法，如图所示．3．注意：①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；②若首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则这些向量的和为0.题型一空间向量的概念辨析【例1】[思路探索]可根据向量相等的两个条件来进行判断，任何一条不具备，则两向量不相等．解析命题①，据向量相等的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，故①错；命题②符合两个向量相等的条件，②正确；命题③正确；命题④，任意两个单位向量只是模相等，方向不一定相同，故④错．答案②③规律方法熟练掌

9、握好空间向量的概念，零向量，单位向量，相等向量，相反向量的含义等是解决这类问题的关键．(2)判断有关向量的命题时，要抓住向量的两个主要元素：大小与方向，两者缺一不可，相互制约．【变式1】解(1)假命题，有向线段只是空间向量的一种表示形式，但不能把二者完全等同起来．(2)假命题，不相等的两个空间向量的模也可以相等，只要它们的方向不相同即可．(3)假命题，当两个向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个向量相等却不一定有相同的起点和终点．[思路探索]利用向量的加法、减法运算法则及加法运算律求解．题型二

10、空间向量的加减运算【例2】规律方法化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则进行化简，在化简过程中遇到减法时可灵活应用相反向量转化成加法，也可按减法法则进行运算，加减法之间可相互转化，另外化简的结果要在图中标注好．【变式2】审题指导解答本题可先求出最后的结果，再在图中表示出来，也可直接利用法则，在图中画出所求向量．题型三空间向量加减运算的应用【例3】【题后反思】利用三角形法则或平行四边形法则画出和向量或差向量时，一定要注意和(差)向量的方向．必要时利用空间向量可自由平移，使作图容易．【变式3】误区警示

11、对向量的运算法则把握不准致错【示例】掌握向量加减的运算法则及向量加法的交换律、结合律等基础知识，在求解时需将杂乱的向量运算式有序化处理，必要时也可化减为加，降低出错率．