浙江大学数学建模辅导

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1、初等模型浙江大学数学建模实践基地§2.1舰艇的会合某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的飞行员，护卫舰找到飞行员后，航母通知它尽快返回与其汇合并通报了航母当前的航速与方向，问护卫舰应怎样航行，才能与航母汇合。P(x,y)记v2/v1=a通常a>1Y222即：航母则

2、BP

3、a

4、AP

5、A(0,b)θ222221x(yb)a[x(y-b)]θ可化为：22222OX2a14abxybB(0,-b)a21(a21)2护卫舰2a12ab令：hb,r则上式可

6、简记成：22a1a1x2(y-h)2r2汇合点即可p必求位出于P点此的圆坐上标。和θ2的值。y(tan)xb（护卫舰的路线方程）1本模型虽简单，但分析极清晰且易于实际应用y(tan)xb（航母的路线方程）2§2.2双层玻璃的功效在寒冷的北方，许多住房的玻璃窗都是双层玻璃的，现在我们来建立一个简单的数学模型，研究一不下妨双可层以玻提璃出到以底下有假多设：大的功效。比较两座其1他、条设件室完内热全量相的同流的失房是屋热，传导它们的引起的，不存在户内外的空气对差异仅仅在窗户不同。流

7、。2、室内温度T1与户外温度T2均为常数。3、玻璃是均匀的，热传导系数为常数。室设玻璃的热传导系数为k1，空气的室内热传导系数为k2，单位时间通过单外T位面积由温度高的一侧流向温度低aT1的一侧的热量为θTTb2由热传导公式θ=kΔT/dTTTTTT1aabb2kkkdld1d2l1d1klkdTT1212解得：Ta2(kl)/(kd)12(1klkd)TT1212T12klkdTT1212kk11dd2klkd12)f(室1TTh内类似有k

8、12室0.912d外0.8T12T0.720.62(k1l)/(k2d)0.5k11一般16~32故dd0.4k18l/d20.31记h=l/d0并.2令f(h)=此函数的图形为0.18h10h012345678910考虑到美观和使用上的方便，h不必取得过大，例如，可取h=3，即l=3d，此时房屋热量的损失不超过单层玻璃窗时的3%。§2.3崖高的估算假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下一块石头听回声的方法来估计山崖的高度，假定你能准

9、确地测定时间，你又怎样来推算山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。我有一只具有跑表功能的计算器。方法一假定空气阻力不计，可以直接利用自由落体运动的公式12hgt2来计算。例如，设t=4秒，g=9.81米/秒2，则可求得h≈78.5米。我学过微积分，我可以做得更好，呵呵。除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当属空气阻力。根据流体力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下落的速度，阻力系数K为常数，因而，由牛顿第二定律可得：dvFmmgKvdtgkt令k=K/m，解得vcek代入初始条件v

10、(0)=0，得c=－g/k，故有ggktvekkggkt再积分一次，得：htec2kk代入初始条件h(0)=0，得到计算山崖高度的公式：ggktgg1ktghte(te)①222kkkkkk若设k=0.05并仍设t=4秒，则可求得h≈73.6米。多测几次，取平均值听到回将声e-再kt用按泰跑勒表公，式计展算开得并到令的k时→间0+中包，含即了可反应时间得出前面不考虑空气阻力时的结果。不妨设平均反应时间为0.1秒，假如仍设t=4秒，扣除反应时间后应为3.9秒，代入式①

11、，求得h≈69.9米。还应考虑回声传回来所需要的时间。为此，令石块下落的真正时间为t1，声音传回来的时间记为t2，还得解一个方程组：g1gkt1h(te)这一方程组是12kkk非线性的，求h340t解不太容易，2为了估算崖高tt3.9竟要去解一个12非线性主程组相对于石块速度，声音速度要快得多，我们可似乎不合情理用方法二先求一次h，令t2=h/340，校正t，求石块下落时间t1≈t-t2将t1代入式①再算一次，得出崖高的近似值。例如，若h=69.9米，则t2≈0.21

12、秒，故t1≈3.69秒，求得h≈62.3米。§2.4经验模型当问题的机理非常不清楚难以直接利用其他知识来建模时，一个较为自然的方法是利用数据进行曲线拟合，找出变量之间的近似依赖关系即函数关系。最小二乘法插值方法设经实际测量已得到n组数据（xi,yi），i=1,…,n。将数据画在平面直角坐标系中，见图。如果建模者判断这n个点很象是分布在某条直线附近，令该直线方程为y=ax+b，进而利用数据来求参数a和b。由于该直线只是数据近似满足的如关果系建式模，者故判断yi-(变ax量i+间b)=的0关一系般并