函数热点题型

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1、函数热点题型复习安徽　　明师　　1、开放型问题　　例1（1）已知直角坐标系内，点P的纵坐标是横坐标的3倍，请写出过点P的一次函数的解析式（至少三个）_____________________．　　（2）某函数具有下列两条性质：①图象关于原点O成中心对称；②当x>0时，函数值y随自变量x的增大而减小，请举一例（用解析式表示）：_______________．　　（3）已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点A(c，0)，且关于直线x=2对称，则这个二次函数的解析式可能是_____________（只要求写出一个可能的解析式）．　　[解]（1）设点P的坐标为(a，3a)，过点P的一次函

2、数的解析式为y=kx+b(k≠0)．　　取a=1，把P(1，3)代入y=kx+b，得k=3-b．　　令b=1，则k=2，y=2x+1；　　令b=2，则k=1，y=x+2；　　令b=4，则k=-1，y=-x+4；……　　可见仅取a=1，满足条件的一次函数的解析式就有无数个．　　（2）根据所学的几个函数的图象特征，可知在一、三象限的反比例函数具有所述的性质．如y=1/x，y=2/x等．　　（3）依题意，得　解得：；；　　∴y=x2－4x+3，或y=x2－4x．　　[点评]三个小题都是确定函数的解析式，且有一个共同特点，所确定的解析式都是开放型的．解答这类题，一定要抓住所求函数解析式具有

3、的条件或性质来思考．　　2、综合性问题　　例2　如图，已知直线PA是一次函数y=x+n(n>0)的图象，直线PB是一次函数y=-2x+m(m>n)的图象．　　（1）用m、n表示出A、B、P点的坐标；　　（2）若点Q是PA与y轴的交点，且四边形PQOB的面积是，AB=2，试求P点的坐标，并写出直线PA与PB的解析式．　　[分析]由（1）易得P点坐标的表达式，要确定P点坐标，需求出m、n的值，关键是将四边形PQOB的面积、AB的长用m、n的代数式表示，得到关于m、n的方程．四边形PQOB是一般四边形，其面积可通过三角形面积的和差表示，这是解这类问题的基本策略．7　　[解]（1）A(-n

4、，0)，，．　　（2）连接PO，则依题意：m>0，n>0　　　，　　　，　　　∵S四边形PQOB=SΔPOB+SΔPOQ=5/6，AB=2，　　　解得：m=2，n=1．　　　故P点坐标为（1/3，4/3），直线PA的解析式是y=x+1，直线PB的解析式是y=-2x+2．　　[点评]在求三角形的面积时，如果利用底与高的积的一半这个公式，尽可能使底边处在与x轴或y轴平行的位置上，如有底边在x轴或y轴上则更好，如若不能满足以上条件，则可设法利用图形面积的和差去完成转化．　　例3已知：如图，直线l经过A（4，0）和B（0，4）两点，它与抛物线y=ax2在第一象限内交于点P，又知ΔAOP的面

5、积为9/2，求a的值．　　[分析]欲求a的值，需求出二次函数的图象与直线l的交点P的坐标，为此，先求直线l的解析式．由ΔAOP的面积是9/2，且OA=4，故可求出P点的纵坐标，代入到直线的解析式中，则横坐标也可求出．由于点P在y=ax2的图象上，代入到y=ax2可求a值．　　[解]设直线的解析式为y=kx+b，　　则　　解得：k=－1，　b=4．　　∴直线l的解析式是y=-x+4．　　设P点的坐标为（m，n），7　　∵SΔAOP=9/2，OA=4，　　∴1/2×4×n=9/2，∴n=9/4．　　∵点P在直线l上，∴9/4＝－m+4，得m=7/4，　　故P点的坐标为（7/4，9/4）

6、，　　∵P点在抛物线上，　　∴将m=7/4，n=9/4代入到y=ax2，得　　9/4=a×(7/4)2，　∴a=36/49．　　[点评]如果题目中有三角形的面积，要注意结合图形观察顶点的横坐标与纵坐标，对于此题来说，由于ΔAOP的底边OA的长已知，因此P点的纵坐标即为ΔAOP中OA边上的高．　　在直角坐标系中的几何图形，往往可以和函数图象结合起来，通过函数解析式，利用函数性质寻找解题的途径，它即可以解决一些数值计算问题，又能推理论证，把平面几何图形的问题放在坐标系中，与函数知识相结合，需要用数形结合的方法来解．　　3、文字信息题问题　　例4由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字

7、：　　已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点(1，0)，……求证：这个二次函数的图象关于直线x=2对称．　　根据现有信息，题中的二次函数图象不具有的性质是　　　　　　　　（　　）　　Ａ．过点(3，0)Ｂ．顶点是(2，-2)　　Ｃ．在x轴上截得的线段长是2Ｄ．与y轴的交点是(0，3)　　[解]本题的迷惑性在于部分题设条件被墨水污染，既已污染不能复原，说明并不影响问题的解答，应果断弃之，另辟蹊径．　　其实，可将结论中“二次函数的图象关于x=2对称”也作为已知条件，所以：