随机过程的概念

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1、§2.1随机过程的基本概念第二章随机过程的基本概念概率论中对于随机变量的研究限于一维或有限维，有时也讨论了随机序列但都要求这些随机变量相互独立且同分布。（大数和中心极限定理）实际中有很多随机现象是随时间而变的动态过程，而且在不同时刻，随机现象可能相互有关联，未必具有独立和同分布性。这种动态的随机现象，就需要用随机过程来描述。例2考察[0,t)小时内某服务台接受服务的人数X(t)。例1观察某只股票一天的价格走势.X(t)为t时价格。以股票价格为例，可能被观察到的走势图：X(t1,ω)X(t2,ω)X(t,ω1)X(t,ω2)X(t,ω3)t1t2tnX(t3,ω)特点2：每

2、一固定时刻t，都对应一随机变量。特点1：每一个观察到的样本，都是随时间t在变化的曲线，称为样本函数，或轨道.样本函数的全体称为样本函数族.随机变量的全体称为随机变量族。ω1ω2ω3所以随机过程可以用表示为(ΩF,P)上的一个随机过程.是一随机变量,T称为参数集，或时间参数集。定义T是参数集,Ω为样本空间，(Ω,F,P)是概率空间,简记为或的值称为随机过程在t时所处的状态。所有可能的值的集合，称状态空间，记为I.若对每个1)T,I均为离散;2)T离散,I连续;3)T连续,I离散;4)T,I为连续.根据时间集和状态空间的不同，随机过程分为四类：当T为离散集,称随机过程为随机序

3、列,时间序列.在t时状态空间离散，则为离散型随机变量例1为时间状态皆连续的随机过程例2为时间连续状态离散的随机过程时间离散状态随机过程，又称随机序列。若例1、例2中只考虑整点时刻时刻的情形，则分别是时间离散状态连续和时间离散状态也离散的随机过程。的联合分布函数：称为过程的n维分布函数族.§2.2随机过程的分布和数字特征定义是一随机过程，对于任意有限维分布函数性质1)对称性对1,2,…,n的任一排列j1,j2,…,jn,均有对任意固定的自然数m

4、布。所以所以:是独立的正态随机变量Y,Z的满秩线性变换，故为二维正态分布。对于例4若从t=0开始每隔1/2秒抛掷一枚均匀的硬币做试验，定义一个随机过程：1)一维分布函数F(1/2；x)和F(1,x);2)二维分布函数F(1/2,1;x,y).求解（1）这是独立随机过程（即在不同时刻的随机变量相互独立），所以过程的有限维统计特性由一维确定。X(t)cosπt2tp1/21/2X(1/2)01p1/21/2X(1)-12p1/21/2（3）在实际应用中,很难确定出随机过程的有限维分布函数族,过程的数字特征能反映其局部统计性质.下面，讨论随机过程的数字特征.定义给定随机过程,有

5、如下定义的数字特征：均值函数方差函数均方差函数自相关函数自协方差函数由于各数字特征都可以由均值函数和自相关函数计算而得，所以，我们重点讨论的是均值函数和自相关函数例5随机变量A与Θ相互独立,A～N(0,1),Θ～U(0,2π).求过程的均值函数和相关函数.解，其中β是正常数,解例6是相互独立的随机序列，且求随机过程的均值函数和自相关函数定义设和是两个随机过程,它们的互相关函数定义为互协方差函数为例7已知实随机过程X(t)具有自相关函数R(s,t),令Y(t)=X(t+a)－X(t)求RXY(s,t),解RYY(s,t).2.3、复随机过程定义设和是两个实随机过程，为复随机

6、过程.均值函数：自相关函数：自协方差函数：称定义设和是两个复随机过程,有如下定义：互协方差函数互相关函数§2.4几种重要的随机过程平稳增量过程X(t+h)－X(s+h)与X(t)－X(s)具有相同的分布，称随机过程X(t)为平稳增量过程.若对任意s,t,h∈T,的分布仅与τ有关,与起始点t无关,也即{X(t),t≥0}的增量具有平稳性。注：平稳增量过程是指增量定义若s,t∈T,称为随机过程X(t)的增量。X(t)－X(s)sts+ht+h独立增量过程X(t2)－X(t1)与X(t4)－X(t3)相互独立,t1t2t3t4

7、)为独立增量过程注：独立增量即不重叠的区间上的增量相互独立。正交增量过程t1t2t3t4E[X(t2)－X(t1)][X(t4)－X(t3)]=0若为零均值二阶矩过程，且对任意的t1