物理奥赛：力学机械振动与机械波

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1、第七专题机械振动与机械波解题知识与方法研究疑难题解答研究例1、质点运动中的部分运动属于谐振动的问题.例2、非惯性系中的简谐振动问题一、简谐振动的三种等价定义（对线量、角量均适用）三、非简谐的周期振动四、一般情况（含纵、横向）的多普勒效应二、简谐振动的势能计算解题知识与方法研究一、简谐振动的三种等价定义（对线量、角量均适用）1、谐振动的运动学定义2、谐振动的动力学定义式中，称为振动系统的振动系数(不一定等于劲度系数).②①振动系统不仅应总能量守恒，且势能可表示为注意：3、谐振动的机械能定义③请自行证明三种定义等价性！例1悬挂在同一高度的两根不可伸长的轻质绳，绳长均为l，

2、下面挂一质量为M的光滑匀质薄平板.平板中央有一质量为m的光滑小木块.开始时系统处于静止悬挂状态，两绳互相平行，如图.而后在两绳平面内给平板一个小的水平扰动，使其获得水平速度v0，此板即作小角度摆动.求小摆动的周期.解取平衡位置为零势能位置.系统各物运动如图.系统动能为m与M具有相同的向上运动速度,即系统势能为系统的总机械能于是因其符合谐振动能量的表达式,且守恒.故题述的振动为谐振动.题后思考能否用谐振动的其他定义证明题中的振动为谐振动.其周期为二、简谐振动能量的计算2-1、动能计算：2-2、势能计算：方法一（各种势能统一计算）：方法二（各种势能分别计算）：重力势能的零

3、势能位置是可任选的（弹性势能不任选）.注意：方法一中：两种方法计算势能结果可能不相等!你如何计算图(c)中系统的势能？k不一定是弹簧的劲度系数.Δx不一定是弹簧的伸长.零势能位置即平衡位置.方法二中：ki是弹簧的劲度系数.ΔLi是弹簧的伸长.例如在右图（c）中,计算系统的势能.按方法一计算：按方法二计算：（1）若取小球的平衡位置为零重力势能位置,弹簧处于自然伸长为零弹性势能位置.得知（2）若弹性势能、重力势能零位置均取小球的平衡位置.得知则平衡位置任意位置弹簧未拉长则4-3、总机械能（势能按方法一计算）：要使按第二种方法计算结果与第一种相等，须将所有势能的零势能位置均

4、取在振动系统的平衡位置.即注意在谐振动的机械能定义中，势能的计算方式不可随意！三、非简谐的周期振动也存在大量不满足谐振动定义式：（1）非小角度的摆（复摆、单摆）是非简谐的周期振动；例如：（3）直线运动的质点受力为则质点的运动也为非简谐的周期振动.（2）行星在太阳引力下的椭圆轨道运动在长轴和短轴方向的分运动也是非简谐的周期振动.的周期振动.例2在光滑的水平面上有两根质量可忽略的相同的弹簧，它们的一个端点连接着同一个光滑小物体，另外两个端点A1，A2被固定在该水平面上，并恰好使两弹簧处于自由长度且在同一直线上，若小物体在光滑水平面上沿着垂直于A1、A2连线的方向受扰动稍稍

5、偏离初始位置，试分析小物体是否能做简谐振动.解小物体的运动、受力、位置情况如图.当小物体有小偏移量x时，受到的恢复力为四、一般情况下（含纵、横向）的多普勒效应计算1、纵向多普勒效应计算（波源、观察者在波线上相对介质运动）波源S静止，观察者O运动波源S运动，观察者O静止何谓横向？2、横向（无）多普勒效应：波源的速度（发出某波的瞬时）、观察者（接受该波的瞬间）的速度均垂直某波线方向.图1图2图3图4横向的理解：下面四种情况会不会出现横向多普勒效应？3、一般情况下（含纵、横向）的多普勒效应计算如图.观察者O在t2时刻于A2处收到波源S于之前的t1时刻在B1处发出的波.观察者

6、O在t2时刻于A2处收到波源S发出的波时波源已运动到B2处.速度分量vO⊥、vS⊥不影响观察者收到的频率.速度分量vO∥、vS∥使观察者收到的频率变为注意S发出某波和O收到该波的异时异地性；例3两辆汽车A与B，在t=0时在十字路口分别以速度vA和vB沿水平的、相互正交的公路匀速前进，如图所示.汽车A持续地以固定的频率f0鸣笛，求在任意时刻t汽车B的司机所监测到的笛声频率f′.已知声速为u，且当然有u>vA、vB.解如图，由几何关系可知即以t1为变量，解方程得B车在(b,t)收到A车在(a1,t1)发出的笛声.如图，有于是①②将①②代入③④，再将③④代入多普勒效应公式得

7、③④题后总结该题考的是知识水平；对数学应用有较高要求.例1一个大容器中装有互不相容的两种液体，它们的密度分别为ρ1和ρ2（ρ1<ρ2）.现让一长为L、密度为ρ=(ρ1+ρ2)/2的均匀木棍，竖直地放在上面的液体内，其下端离两液体界面的距离为3L/4，由静止开始下落.试计算木棍到达最低处所需的时间.假定由于木棍运动而产生的液体阻力可以忽略不计，且两液体都足够深，保证木棍始终都在液体内部运动，既未露出液面，也未与容器底部相碰.解当木棍全处在上层液体中时，将如何运动？当木棍全处在下层液体中时，将如何运动？当木棍经过两层液体分界线时，将如何运动？（1）如图，