物理奥赛5：力学守恒律

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1、奥赛典型例题分析(力学守恒律)1图1F1.如图1所示，一截面为圆形的细管被弯成半径为R的圆环，此圆环的内外半径几乎相同，现把这圆环固定在竖直平面，一小球原来位于环中最低处，小球在拉力F作用下以匀速率v沿圆环从最低点运动到最高点，拉力F的方向始终沿圆环的切线方向，若小球与管内外壁的摩擦因数为μ，管内内壁光滑，试求小球沿圆环从最低点到最高点过程中，拉力F所做的功.（小球的质量为m，拉力F的大小未知）2例1解：因为F的大小未知，所以不能直接用F来求功.但可利用动能定理来求.图1FAB对于小球从A→B过程，据动能定理得故其中重力的功为因为摩擦力是变力，所以，本题的关键

2、是如何求出摩擦力的功Af.下面利用对称性来求.O如图所示，当小球运动到θ角位置时，有3O图1FAB故当N>0时，表示小球与环外壁接触，且受到环外壁的支持力作用,因外壁粗糙，那么此时小球就会受到摩擦力的作用；而N<0时，表示小球与环内壁接触，且受到环内壁的支持力作用,但内壁光滑，那么此时小球就没有摩擦力的作用.显然，当θ是钝角时，就有可能使得N<0.下面就此进行一些讨论.(1)若，则当时，N>0，小球与环外壁接触，且受到受到摩擦力的作用.4O图1FAB是临界角.如图1所示，小球从A运动到C的过程，与环外壁接触，有摩擦力作用；从C运动到B的过程，小球与环内壁接触，

3、无摩擦力作用.在C点处，N＝0.为计算摩擦力的功，考察一微小过程（如图2所示）.图2此过程摩擦力的功为5图2O图1FAB因为C点到y轴的距离为所以，从A→C过程有从C→B过程没有摩擦力.所以，从A→B过程拉力F的功为6(2)若，则不存在N＝0的临界点，小球始终与环外壁接触，且始终受到摩擦力的作用.故有图1FAB于是，从A到B过程，拉力F做的功为72.如图2所示，质量分布均匀的细链，长为L＝10m，质量为10kg，其一端系于天花板的P点处，人提着另一端，P、Q两点的高度差为h=2m，设人的提拉力F＝100N，试求天花板对细链的作用力.图2QP8例2解:(虚似法)

4、由于细链挂在竖直平面内，且没有对称性，所以无法用力的平衡方法求解.但可以作如下情景虚似:图1QPhPQTPTQ图2人将链条沿其拉力方向缓慢移动一微小位移∆L，在这一过程中保持链条的形状和位置不变，那么这仅仅相当于把微元∆L从P点移到Q点，链条的势能减少了.据功能原理有又所以93.足球运动员在离球门11m处罚点球，球准确地从球门的横梁下沿飞进球门.设横梁下沿离地面的高度h=2.5m，足球的质量为m=0.5kg，不计空气阻力，那么运动员必须传递给这个足球的最小能量是多少？(19届俄罗斯中学生竞赛题)10例3解：xyohL图1如图1所示，据勾股定理得经整理得因为是一

5、正恒量当时，有最小值.11所以，运动员传递给这个足球的最小能量为124.如图3所示，四个质量都是m的质点，用同样长的不可伸长的细线连结成一菱形ABCD，静止地放在水平光滑的桌面上，若突然给质点A一个历时极短沿CA方向的冲击，当冲击结束时刻，质点A的速度为v，其它质点也同时获得一定的速度，试求此质点系统受冲击后所具有的总动量和总能量.图3vDCBA●●●●(96年13届复赛题)13v●●●●ABDC图2例4解：图1v●●●●ABDC由对称性可知，B、C、D质点的速度有如下规律(如图2所示)：C的速度必沿CA方向，vB1=vD1,vB2=vD2.因为绳子不可伸长，

6、所以必有各对应质点沿相连的绳子方向的速度必须相等.又设各条绳子给质点的冲量如图2所示.那么据动量定理有14由以上5个方程可解得v●●●●ABDC图215于是系统的总动量大小为方向沿CA方向系统的总动能为v●●●●ABDC图2165.如图4所示，质量为m的物体可沿足够长的竖直轨道A、B上下运动，物体正下方放置一个轻弹簧，物体与轨道间的最大静摩擦力与滑动摩擦力都是,现在物体在距离弹簧为d高度处由静止开始下落，试求：（1）物体下落达到的最低位置与弹簧劲度系数k的关系.（2）物体由最低位置第一次弹回的高度与k的关系.图4BAdm17例5解：图1BAdm物体m的运动可分

7、为三个过程：加速下落距离d→压缩弹簧变加速下落至停止→反弹向上运动.由于弹簧的k值未知，所以，物体m到达最低位置后的运动存在以下三种可能性：第一种：不能弹回；第二种：弹回后弹簧仍被压缩；第三种：弹回后能脱离弹簧.下面就这三种可能性来讨论k的取值范围:设m运动到最低位置时，弹簧的压缩量为s，则据功能原理有18图1BAdm图2BAdms由此解得显然，m下落停止后回弹的条件是即故讨论:(1)当时，m不能弹回.此时，代入(2)式可得：→m不能弹回的条件.19m不能弹回(2)显然，当时，m可以回弹.图1BAdm图2BAdms图3BAdms1h1①若m反弹至速度为零时，弹

8、簧仍被压缩.设此时压缩量为s1(如图3