物理奥赛：力学质点的运动

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1、第一专题质点运动学知识与方法研究例题7例题8例题9疑难题解答研究三、两平面运动曲线的交点的运动一、运动分解的任意性二、曲率半径的物理求法一、运动分解的任意性不限于正交分解，更不限于沿水平、竖直方向的正交分解.可以根据解题需要沿选定方向分解.知识与方法研究运动的分解与合成是不同于参照系变化时（K′→K）对运动描述的伽利略或洛仑兹变换,是在一个参照系中进行的.例1足球运动员在球门正前方距离球门S远处的O点踢出一球，球从球门高为h的横梁下边沿射入球门.问球以怎样的角度θ射出，才能使射出的初速度v0最小？OCBSxyh解一建立如图的坐标系，则有消去

2、t得：进而得：所以θφ将v0做水平、竖直的正交分解.v0OCBShθφxyv0解二如图，建立坐标系.则有将v0、g均沿x、y方向进行分解.足球到达B时，所以有消去t得：所以此时αφOCBShθφv0解三xy建立如图的坐标.据图中的几何关系，由正弦定理有：即由左边的等式得：将此代入右边的等式：所以此时则x方向为匀速直线运动，y方向为自由落体运动.现在足球在x轴方向、y轴方向的分运动各是什么运动？γDβOCBShθφv0Dxβy题后总结与思考本题充分说明运动分解的任意性.如果愿意，还有一种如图的有效分解方式！例2弹性小球从高h处自由落下，落到与

3、水平面成θ角的足够长的斜面上，碰撞后以同样大小的速度弹回来.（1）求每个弹回点（第一点和第二点，第二点和第三点，……，第n点和第（n+1）点）间的距离x1-2、x2-3、x3-4、……、xn-(n+1).（2）求当斜面以匀速度u沿竖直方向向上运动时的x1-2的数值.解小球第一次与斜面相碰（前、后）的速度大小为则小球在两个碰点之间的在x、y方向的分运动均是匀变速直线运动.于是以斜面为参照系.建立如图所示的坐标系.第一次碰后（第二次碰前）的运动方程为：令y1=0，可得第一与第二次碰撞的时间间隔为代入x1的计算式后可得第二次碰后瞬间的速度大小等于

4、第二次碰前瞬间的速度大小：显然，进而可知每相邻两次相碰的时间间隔均相等，以此类推，碰后瞬间在y方向的速度大小均相等.于是可知在每次碰前为注意：x2-3-x1-2=8hsinθ!会不会每碰一次增加“8hsinθ”？小球每一次碰后瞬间的x方向分速度将比前一次增加因而每接连两次相碰的间距将比相邻的两次接连相碰的间距增加所以第n次碰撞与第(n+1)次碰撞之间的间距为题后思考能否建立水平方向的x坐标与竖直方向的y坐标解本题？能否建立斜面方向的x坐标与竖直方向的y坐标求解？（2）求当斜面以匀速度u沿竖直方向向上运动时的x1-2的数值.此时，仍以斜面为参

5、照系.则小球第一次与斜面相碰时速度大小便由（1）中的v10变成了(v10+u).所以将（1）中相关式子中的v0代换为（v0+u），能得到对应的结果.便于是让质点的做某种轨迹为给定的曲线的运动确定质点在运动轨迹上各处的v和a心由向心加速度公式求ρ在选择质点的运动时，尽量考虑如何方便得到曲线各处的v和a心二、曲率半径的物理求法1、从曲率圆的角度看平面光滑曲线运动的速度和加速度——表示速度大小的变化快慢——表示速度方向的变化快慢yop1pva切a心ax2、由物理运动学求曲率半径思路：这样的运动在椭圆的顶点处的v和a心是易求得的.例3试求椭圆的顶点

6、处的曲率半径.解椭圆的参数方程为xy0AB可以选择质点沿椭圆轨道的运动为：在x方向和y方向的分运动为简谐振动的运动.(其简谐振动方程即为以上椭圆的参数方程)于是有在图中顶点A处：xy0AB所以va心同理可得总是指向轮心但是否总是指向滚轮线的曲率圆圆心？例4求滚轮线的最高点的曲率半径和ρ1最低点的曲率半径ρ2.解oPv0为方便计，设轮子做匀速的纯滚动.设轮心O相对地面的速度为v0.P在最高点处相对于地面的速度大小为P在最低点处相对于地面的速度大小为故则PPPooo轮边缘上的任意一点P相对轮心O的线速度为多大？oPv0滚轮线最低处的曲率半径为P

7、PP在滚轮线的最高点处和最低点处，故ooo题后总结此两题的解法属于物理运动学的求法;曲率半径还有物理动力学的求法——这将在以后研究.三、两运动曲线（包括直线）的交点的运动注意交点并非曲线上的一个固定点，而是两条曲线相交而成的几何点.两曲线并非均作平动.1、几种交点的运动情况Pv2v1（1）直线与直线的交点（2）曲线与曲线的交点（3）直线与曲线的交点2、如何求交点的速度Pv1v2决不能！！P（1）由速度的定义出发求.（2）从相对运动出发求.例5如图，一平面内有l1、l2两细杆，相交成φ角.细杆分别以垂直于自身杆长的速度匀速运动.求两杆的交点P

8、相对于纸面的速率.解一AB由定义出发求速度l1l2Pv1v2P2P3设经过时间Δt,交点P匀速直线运动至P1处.在图中：由余弦定理有所以（求出交点相对某一曲线的速度，再叠加上此曲