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1、第九章状态空间系统响应、可控性与可观性9.1线性定常系统的响应9.2状态转移矩阵9.3线性离散系统的响应9.4可控性和可观性9.5线性定常系统的线性变换9.6对偶原理9.7线性定常系统的结构分解9.8矩阵处理的MATLAB实现小结9.1线性定常系统的响应9.1.1利用传递函数求解输出响应已知系统的传递函数G(s),如果给定输入信号r(t)的拉氏变换R(s)也是有理函数,那么输出响应的拉氏变换为(9.1)式中,λi是G(s)R(s)的相异极点,可以为实数和复数,如为复数极点必然共轭成对;ni为重极点数。对Y(s)用部分分式展开,可得(9.2)式中ki在复变函数中称为留数
2、,并由下面的表达式确定:注意,与复数共轭极点相对应的系数也互为共轭复数。对式(9.2)取拉氏反变换,即可得输出响应y(t):由式(9.3)可以看出,输出响应y(t)是tni-1e-λit(i=1,2,…,p;ni=1,2,…)各项的线性组合,各项性质由G(s)R(s)的极点决定,而其大小还与G(s)R(s)的零点有关。例9-1已知系统闭环传递函数为求其在单位阶跃信号输入下的输出响应。解由已知条件得系统输出响应的拉氏变换为经部分分式展开有采用拉氏反变换后则得输出响应为将一个有理分式进行部分分式展开,MATLAB提供了一个函数residue()。读者可以通过查询MATLAB帮助获取有
3、关函数的使用方法。另外,由于系统的传递函数是在零初始条件下定义的,因此,根据它求出的输出响应只是系统的零状态响应。9.1.2状态方程的解通过求解系统的状态方程,可以获取系统中状态变量随时间的变化情况,即系统的状态响应。已知线性定常连续系统状态方程的一般形式为(9.4)状态变量的初始值为x0,控制作用为u(t)。状态方程是一阶微分方程组,它的求解方法和解的形式都与标量一阶微分方程相似。标量一阶微分方程的齐次方程为x(t)=ax(t),x(0)=x0其解为x(t)=eatx(0)其中,指数函数eat可以展成如下无穷级数形式:与此类似,一阶向量微分方程的齐次方程的解也具有如下形式:其
4、中,(9.5)式(9.5)无穷矩阵级数的收敛式eAt叫做矩阵指数,I为单位矩阵。下面讨论非齐次状态方程(9.4)的求解。用x(t)左乘e-At之后求导得(9.6)对上式两边进行积分,积分限从0到t,即可得所以从式(9.7)可以看出,系统的动态响应由两部分组成:一部分由状态初始值x(0)引起,叫做零输入响应;另一部分由输入信号u(t)引起,叫做零状态响应。9.2状态转移矩阵一般情况下,线性系统(包括定常和时变)的状态响应方程可以写为(9.8)式(9.8)又称状态转移方程,并称Φ(t)为状态转移矩阵,它表征系统从t=0的初始状态x(0)转移到t＞0的任意状态x(t)的转移特性。显然,
5、状态的转移性能完全取决于系统的A阵。对于线性定常系统有Φ(t)=eAt。9.2.1矩阵指数和状态转移矩阵的性质数学上可以证明,矩阵指数eAt和状态转移矩阵Φ(t)具有下述性质,它们与指数函数eat的性质相似。(5)对于正实数n,(eAt)n=enAt,Φn(t)=Φ(nt);(6)若AB=BA(即矩阵A、B乘法可交换),则e(A+B)t=eAteBt;(7)若P为非奇异矩阵,则9.2.2矩阵指数和状态转移矩阵的计算1.拉氏变换法设有线性定常齐次状态方程(9.9)对上式进行拉氏变换,则有从而有(9.10)对式(9.10)求拉氏反变换,得因此有这种方法实际上是用拉氏变换在频域
6、中求解状态方程。矩阵(sI-A)-1称为预解矩阵。例9-2已知系统的系数矩阵为求矩阵指数eAt。解由矩阵求逆的公式可知:由式(9.12)得求解过程中的adj(sI-A)表示矩阵(sI-A)的伴随矩阵。2.化矩阵A为对角线矩阵和约当矩阵法如果状态方程的系数矩阵A为对角线矩阵,即可以证明,相应于矩阵A的矩阵指数eAt为也就是说，如果系数矩阵A具有对角线形式,则其对应的矩阵指数是很容易计算的,并且也为对角线矩阵。根据矩阵指数的性质(7)和矩阵相似理论,如果矩阵A通过相似变换A′=P-1AP可以转化为对角线矩阵A′,则有(9.13)这样,如果已知非奇异变换矩阵P,则矩阵指数的计算就迎刃而解
7、了。从线性代数的结论可知,计算将矩阵A对角化的非奇异变换矩阵P需要先求出矩阵A的特征值和每个特征值对应的特征向量。矩阵(sI-A)称为系数矩阵A的特征矩阵,它的行列式
8、sI-A
9、则称为系数矩阵A的特征多项式,方程
10、sI-A
11、=0称为系统的特征方程,特征方程的根就是系统的特征值。如果由一个n阶系统的特征方程可以解得系统的n个两两相异的特征值λ1,λ2,…,λn,则此系统的系数矩阵可以对角化,并且非奇异变换矩阵P可以由下式确定:(λiI-A)pi=0,(i=1,2,…,
