物理光学与应用光学——第3章-6

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1、傅里叶光学基础1.透镜系统的傅里叶变换性质远场衍射即夫琅和费衍射(x,y,z)=exp(i2z/)/izexp[i(x2+y2)/z]×∞-∞(,)exp[-i2(x+y)/z]dd(18)(18)式表明，远场衍射具有傅里叶变换的特性．由于薄透镜或透镜组的后焦面等价于∞，因而可以想像凡是具有正焦距的光学系统都应当具有傅里叶变换的功能．设用振幅为l的单色平面波照射一个在xy平面上，且振幅透过率为g(x,y)的物体，则物体后面的场为g(x,y)．光场用平面波角谱展开：g(x,y)=∞-∞G(/,/)exp[i2(x+y)/]d(

2、/)d(/)由于透镜组具有聚焦的特性，所有方向相同，即具有同样的方向余弦,的入射波都将会聚到透镜组后焦面的一点Q(u,v)上。当透镜组焦距f>>(u2+v2)1/2时，即Q点很接近于原点时，有下面的近似等式u≈f,v≈f(2)g(x,y)的角谱中所有方向余弦为,的角谱分量都对Q点有贡献，Q点的的复振幅自然就等于G(/,/)，因而后焦面上的复振幅分布为G(/,/)=G(u/f,v/f)(3)这样，透镜组的后焦面就成为信号的频域，透镜组起了傅里叶变换的作用。大部分具有聚焦性能的器件，例如反光镜、自聚焦透镜等，都具有傅里叶变换的功能。薄透镜的傅里叶

3、变换功能可以直接计算出来，但它只是光学傅里叶变换器件的一个特例．我们用u，v来表示频域的坐标，也可以表示空间频率变量。在一维的情形下也用v来表示空间频率变量。注意u≈f,v≈f(2)只是近轴近似．严格来说，u=ftg=f/(1-2)1/2(=cos)(4)式中是波矢量k与z轴的夹角。为简单起见，设k位于xz平面内．(4)式又称正切条件，只是在很小时，才满足(2)式。当较大时，傅里叶平面(后焦面)上的线度u与空间频率/并不满足正比关系。从几何光学知道，一个像差校正得很好的透镜必须满足正弦条件，而正弦条件与正切条件是难以同时满足的，所以，性能完善的傅里叶变换透

4、镜是很难设计的。不过在大多数情况下，光学变换是作为近似的模拟变换而加以应用的，再说推导薄透镜的相位变换公式时已经引入了近轴近似。在大多数应用中，无论是薄透镜或是透镜组仍然是最方便、廉价的光学傅里叶变换器件。透镜系统的相位变换公式由于透镜系统能将平面波转换成球面波，所以它的相位变换效应可以表为tl=exp(ik)exp(–ikr)/r(5)式中为透镜组的等效厚度。r=OP，O是会聚球面波的中心，也是透镜系统的焦点，OQ=OM=f，f为焦距，在近轴近似下，PQ≈MN=h，tl=exp(ik)exp(–ikr)/rr=f+PQ≈f+h。因为2+2+f2=r2≈(f+h)2→

5、2+2≈(f+h)2-f2≈2fh→h≈(2+2)/2f所以r≈f+h=f+(2+2)/2f(6)式中(,)是P点坐标，代入(5)式，取分母上的r≈f,得透镜系统的相位变换公式tl=exp[ik(-f)]exp[–ik(2+2)/2f]/f(7)透镜系统对图像的变换公式设光波在dl和d2范围内的传播满足菲涅耳近似条件，则由1.3节(16)式透镜前表面的场l可表为l(,)=eikd1/id1×∞-∞o(x,y)exp{ik[(-x)2+(-y)2]/2d1}dxdy(8)透镜L的相位变换效应可表为l’(,)=tll=(e-ikf/f)

6、exp[-ik(2+2)/2f]l(,)(9)其中略去了常数相位项exp(ik)．设输入平面的透过率为o(x,y)，它位于透镜L前dl处．输出平面uv位于L后d2处。物体用振幅为1的单色光波照明。利用菲涅耳变换公式，得到输出平面(u,v)上的场l(u,v)=exp(ikd2)/id2×∞-∞l’(,)exp{ik[(u-)2+(v-)2]/2d2}dd(10)将(8)，(9)代入(10)式，得l(u,v)=-exp(ik(d1+d2-f)exp[ik(u2+v2)/2d2]/2d1d2f×∞-∞o(x,y)exp[ik(x2+y2)/

7、2d1]I(x,y)dxdy(11)其中I(x,y)=∞-∞exp{ik/2[(1/d1+1/d2-1/f)(2+2)]-2(x/d1+u/d2)-2(y/d1+v/d2)}dd=I1(x,y)I2(x,y)(12)Ij=∞-∞exp[i(k2/2-kj)]d(j=1,2)(13)=1/d1+1/d2-1/f,1=x/d1+u/d2,2=y/d1+v/d2讨论：以(15),(16)式代入(12)式，再代入(11)式，经整理，得到(a)≠0(15