高二数学基本不等式

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1、3．1基本不等式3．2基本不等式与最大(小)值一、重要不等式如果a，b∈R，那么①________(当且仅当a＝b时取“＝”号)．2．函数式中，含变数的各项的和或积必须是常数，才能利用“定理”求出函数的最大值或最小值．若含变数的各项之和或之积不是常数(定值)时，必须进行适当的配凑，使和或积变为常数(定值)，方可使用“定理”求出函数的最大值或最小值．总之，由均值不等式(平均值定理)求最值可分为三步．第一步，全正(即求平均值的各个量都是正数)；第二步，凑定值．这步技巧性强，充分体现解题人利用均值不等式求最值的水平，应侧重训练，当凑出和为定值时，对应各个量的积有最大值；当凑出的积为定值时，其

2、对应各量的和有最小值；第三步，“取等号”，即对应各个量能取得等号时，有最值存在，否则，没有最值存在，以上三步可简化为：一正，二定，三相等，三步缺一不可．4．在利用均值不等式求最值时，凑定值是很重要的一步，但是很多时候都是因为取不到最值而苦恼，那么，在求最值时有哪些技巧可以使用呢？利用均值不等式求最值常常需要对函数进行适当的变形．在变形过程中常要用到某些特定的技巧，主要有下面几点：(1)将所得出的正函数平方，然后再使用均值不等式求解．有时候直接带有根号的定值不容易看出来，可以先平方再找最值，得出结果开方即可，但是要注意平方前后的正负问题；(2)有些和(积)不为常数的函数求最值时，可通过引

3、入参数后，再使用均值不等式求解．主要是一些比较复杂的式子，使用一个参数作一个整体代换可以使整个式子更加简洁，也更容易得出定值；(3)有些函数在求最值时，需要几次使用均值不等式进行放缩才能达到目的，放缩时要保证几个等号能同时成立；(4)有时候使用均值不等式的变形，要根据题目的特点，选用合适的公式．例如分析：要求x＋y的最小值，根据均值定理，应构建某个积为定值．这需要对条件进行必要的变形，下面给出三种解法，请仔细体会．[例5]函数f(x)对一切实数x，y均有f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x成立，且f(1)＝0.(1)求f(0)；(2)求f(x)；(3)不等式f(x)>ax－5当0

4、

5、边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元．[变式训练6]如下图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有长36m的钢筋网材料，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？