高三数学分析法、综合法与反证法

《高三数学分析法、综合法与反证法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第五节　分析法、综合法与反证法考纲点击1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.2.了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程、特点.热点提示1.本考点在高考中每年都要涉及，主要以考查直接证明中的综合法为主.2.反证法仅作为客观题的判断方法不会单独命题.1．直接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的，最后推导出所要证明的结论从要出发，逐步寻求使它成立的直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件实质由因导

2、果执果索因框图表示文字语言因为…所以…或由…得…要证…只需证…即证…推理论证成立证明的结论充分条件2．间接证明反证法：假设原命题(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫反证法．不成立矛盾【答案】C2．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为()A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数【解析】∵a，b，c恰有一个是偶数，即a，b，c中只有一个偶数，其

3、反面是两个或两个以上偶数或没有一个偶数即全都是奇数，故只有D正确．【答案】D3．(2008年日照模拟)若a、b、c是不全相等的正数，给出下列判断①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a＞b与a＜b及a＝b中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中判断正确的个数是()A．0B．1C．2D．3【解析】①②正确，③中，a≠c，b≠c，a≠b可能同时成立，如a＝1，b＝2，c＝3.【答案】C【答案】x＜y【答案】24综合法证明不等式已知x＋y＋z＝1，求证：x2＋y2＋z2≥.【思路点拨】

4、利用a2＋b2≥2ab，同时变形利用x＋y＋z＝1，从而(x＋y＋z)2＝1可证．【自主探究】∵x2＋y2≥2xy，x2＋z2≥2xz，y2＋z2≥2yz，∴2x2＋2y2＋2z2≥2xy＋2xz＋2yz.∴3x2＋3y2＋3z2≥x2＋y2＋z2＋2xy＋2xz＋2yz.∴3(x2＋y2＋z2)≥(x＋y＋z)2＝1.∴x2＋y2＋z2≥.【方法点评】1.综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性．用综合法证明题的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B

5、(A为已知条件或数学定义、定理、公理等，B为要证结论)，它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”．2．综合法是中学数学证明中常用方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法．分析法已知非零向量a，b，且a⊥b，求证：【思路点拨】a⊥b⇔a·b＝0，同时注意，a2＝

6、a

7、2，将要证式子变形平方即可获证．【自主探究】∵a⊥b，∴a·b＝0要证只需证

8、a

9、＋

10、b

11、≤

12、a＋b

13、，只需证

14、a

15、2＋2

16、a

17、

18、b

19、＋

20、b

21、2≤2(a2＋2a·b＋b2)，只需证

22、a

23、2＋2

24、a

25、

26、b

27、＋

28、b

29、2≤2a2＋2b2，只需证

30、a

31、2＋

32、b

33、

34、2－2

35、a

36、

37、b

38、≥0，即(

39、a

40、－

41、b

42、)2≥0，上式显然成立，故原不等式得证．【方法点评】1.分析法也是中学数学证明问题的常用方法，其主要过程是从结论出发，逐步寻求使结论成立的充分条件．2．分析法是“执果索因”，它是从要证的结论出发，倒着分析，逐渐地靠近已知事实．用分析法证“若P则Q”这个命题的模式是：为了证明命题Q为真，这只需证明命题P1为真，从而有……这只需证明命题P2为真，从而有………这只需证明命题P为真．而已知P为真，故Q必为真．【特别提醒】用分析法证题时，一定要严格按格式书写，否则容易出错．2．已

43、知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，试用分析法证明不等式反证法已知a，b，c是互不相等的实数．求证：由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a和y＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．【思路点拨】利用反证法：【自主探究】假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点(即任何一条抛物线与x轴没有两个不同的交点)，由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a，y＝cx2＋2ax＋b，得Δ1＝(2b)2－4ac≤0，Δ2＝(2c)2－4ab≤0，Δ3＝(2a)2－4b

44、c≤0.同向不等式求和得，4b2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤0，∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ca≤0，∴(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，∴a＝b＝c，这与题设a，b，c互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证．【方法点评】1.反证法是间接证明问题的一种常用方法，其证明问题的一般步骤为：(1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面(否定