高三数学二次函数与幂函数

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1、第四节　二次函数与幂函数考纲点击1.了解幂函数的概念，结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图象和性质热点提示1.以5种幂函数为载体考查幂函数的图象和性质2.以二次函数为载体考查函数的性质和解决实际问题1．二次函数的解析式的三种形式(1)一般式：．(2)顶点式：．(3)零点式(两根式)：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)，(a≠0)，其中x1，x2分别是f(x)＝0的两实根．2．二次函数的图象与性质二次函数y＝ax2＋bx＋c＝的图象特征：(1)开口方向：a>0时，开口，a<0时，开口．(2)顶点

2、、对称轴：顶点坐标是对称轴方程是f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，(h，k)是顶点坐标向上向下3．与坐标轴的交点(1)与y轴的交点是(0，c)．(2)当Δ>0时，与x轴两交点的横坐标x1、x2分别是方程ax2＋bx＋c＝0的两根．当Δ＝0时，与x轴切于一点当Δ<0时，与x轴．4．幂函数(1)一般地，形如的函数叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)在同一平面直角坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象如下图所示不相交y＝xα1．函数y＝2x2－6x＋3，x∈[－1,1]上的最小值是

3、()A．－B．3C．－1D．不存在【答案】C【解析】依题意，对称轴为x＝，开口向上．因为－1<1<，所以[－1,1]位于函数的递减区间，所以ymin＝f(1)＝－1.选C.2．函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的取值范围是()A．f(1)≥25B．f(1)＝25C．f(1)≤25D．f(1)>25【答案】A【解析】由题意知对称轴x＝≤－2，∴m≤－16.f(1)＝9－m≥25.3．若函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(4)＝f(1)，那么()A．f(2)>f(3)B．f(3)>f(2)C．f(3)＝f(2)D．f(

4、3)与f(2)的大小关系不能确定【答案】C【解析】由f(4)＝f(1)，所以此函数的对称轴为x＝.∴f(2)＝f(3)．故选C.【解析】设f(x)＝xa，则＝2a，即a＝－2，所以f(x)＝x－2＝4.4．幂函数f(x)的图象经过点的值为____．【答案】45．已知x1、x2是一元二次方程ax2＋x＋1＝0的两个实根，若(x1－1)(x2－1)<0，则a的范围是________．【解析】由条件知方程的两实根分别在区间(－∞，1)和(1，＋∞)上．令f(x)＝ax2＋x＋1，结合图象可知，若a>0，则f(1)<0；若a<0，则f(1)>0.因此，af(1)

5、<0，即a(a＋2)<0，得a的范围是－2

6、－2

7、2时，是否满足题意即可．当m＝2时，函数化为y＝x－13符合题意，而m＝－1时，y＝x2不符合题意，故排除B、C、D.【答案】A【方法点评】解决此类问题的关键就是紧扣幂函数的定义，x的系数必须为1，指数是实数即可，若是其他性质问题可依据幂函数的图象与性质进一步求解．1．已知f(x)＝(m2＋2m)x，m为何值时，f(x)是(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数．【解析】(1)若f(x)为正比例函数，则解得m＝1，所以当m＝1时，f(x)为正比例函数．(2)若f(x)为反比例函数，则解得m＝－1，所以当m＝－1时，f(x)为反比例函数．(3)若f

8、(x)为幂函数，则m2＋2m＝1∴m＝－1±，所以当m＝－1±时，f(x)为幂函数．二次函数的最值函数f(x)＝x2－4x－4在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值记为g(t)．(1)试写出g(t)的函数表达式；(2)作g(t)的图象并写出g(t)的最小值．【思路点拨】利用二次函数的性质，确定函数在所给区间上的单调性，含参数的要对参数分类讨论．【自主探究】(1)f(x)＝x2－4x－4＝(x－2)2－8.当t>2时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，∴g(t)＝f(t)＝t2－4t－4；当t≤2≤t＋1，即1≤t≤2时，g(t)＝f(2)＝－8；当

9、t＋1<2，即t<1时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，∴g(t)＝f(t＋