数学：2.3《幂函数》

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1、说出下列函数的名称正比例函数反比例函数一次函数二次函数常数函数指数函数对数函数我们见过这样形式的函数吗？幂函数问题引入：函数的生活实例问题1：如果张红购买了每千克1元的苹果w千克，那么她需要付的钱数p=元，。问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积是S=，。问题3：如果立方体的边长为a，那么立方体的体积是V=，。问题4:如果正方形场地的面积为S，那么正方形的边长a=，。问题5：如果某人ts内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度v=，。w这里p是w的函数a²这里S是a的函数a³这里V是a的函数S这里a是S的函数这里v是t的函数tkm/s若将它们的自变量全部用x来表示,函数值用y来表示

2、,则它们的函数关系式将是:思考：以上问题中的关系式有什么共同特征？（1）都是以自变量x为底数；（2）指数为常数；（3）自变量x前的系数为1;（4）只有一项。(1)(2)(3)(4)(5)一般地，函数叫做幂函数(powerfunction)，其中x为自变量，　为常数。[定义:]问题:你能说出幂函数与指数函数的区别吗?注意:幂函数的解析式必须是y=ｘＫ的形式，　　　　　　　　　其特征可归纳为“两个系数为１，只有１项”．指数函数：解析式，底数为常数a，a>0，a≠1，指数为自变量x；幂函数：解析式，底数为自变量x，指数为常数α，α∈R；练习1、下列函数中，哪几个函数是幂函数？（1）y=（2）y=

3、2x2（3）y=2x（4）y=1(5)y=x2+2(6)y=-x3答案:(1)(4)这种方法叫待定系数法下面研究幂函数在同一平面直角坐标系内作出这六个幂函数的图象.结合图象，研究性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、过定点的情况等。研究y=xx…-3-2-10123……-3-2-10123……9410149……-27-8-101827……\1……-1/3-1/2-111/21/3…y=xx-3-2-10123y=x29410149x-3-2-10123y=x3-27-8-101827x0124012x-3-2-1123-1/3-1/2-111/21/3在第一象限内,函数图象的变化趋势

4、与指数有什么关系?在第一象限内，当时，图象随x增大而上升。当时，图象随x增大而下降不管指数是多少,图象都经过哪个定点?在第一象限内，当时，图象随x增大而上升。当时，图象随x增大而下降。图象都经过点（1，1）时,图象还都过点(0,0)点a<0a>10

5、1)RRR{x

6、x≠0}［0,+∞）RR{y

7、y≠0}［0,+∞）［0,+∞）在R上增在（-∞，0)上减，观察幂函数图象，将你发现的结论写在下表:在R上增在［0，+∞）上增，在（-∞，0]上减,在［0，+∞）上增，在(0，+∞)上减三、幂函数的性质:１.所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数图象都通过点(1,1);幂函数的定义域、奇偶性、单调性，因函数式中α的不同而各异.如果α<0,则幂函数在(0,+∞)上为减函数。α<03.如果α>0,则幂函数在(0,+∞)上为增函数;α>10<α<12.当α为奇数时,幂函数为奇函数,当α为偶数时,幂函数为偶函数.例2利用单调性判断下列各值的大小。

8、（1）5.20.8与5.30.8（2）0.20.3与0.30.3（3）解:(1)y=x0.8在(0,+∞)内是增函数,∵5.2<5.3∴5.20.8<5.30.8(2)y=x0.3在(0,+∞)内是增函数∵0.2<0.3∴0.20.3<0.30.3(3)y=x-2/5在(0,+∞)内是减函数，∵2.5<2.7∴2.5-2/5>2.7-2/5练习21）2）3）4）＜＜＞≤方法技巧:分子有理化如果函数是幂函数，且在区间（0，+∞）内是减函数，求满足条件的实数m的集合。解:依题意,得解方程,得m=2或m=-1检验:当m=2时,函数为符合题意.当m=-1时,函数为不合题意,舍去.所以m=2练习:如

9、图所示，曲线是幂函数y=xk在第一象限内的图象，已知k分别取四个值，则相应图象依次为:________一般地，幂函数的图象在直线x=1的右侧，大指数在上，小指数在下。C4C2C3C11思考题小结1、幂函数的定义及图象特征？2、幂函数的性质(1)幂函数图象过定点(1,1)(2)当α为奇数时,幂函数为奇函数;当α为偶数时,幂函数为偶函数.(3)当α>0时,在(0,+∞)上为增函数;当α<0时,在(0,+∞)上为减函数。作业：