《1.7.1定积分在几何中的应用》课件5

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1、1.7定积分的简单应用1.7.1定积分在几何中的应用问题引航1.利用定积分求平面图形的面积时，需要知道哪些条件？2.两条曲线相交围成的平面图形能否用定积分求其面积？定积分与平面图形面积的关系(1)已知函数f(x)在[a，b]上是连续函数，由直线y=0，x=a，x=b与曲线y=f(x)围成的曲边梯形的面积为S，填表：f(x)的符号平面图形的面积与定积分的关系f(x)≥0S=_________f(x)<0S=_________(2)一般地，如图，如果在公共的积分区间[a，b]上有f(x)>g(x)，那么直线x=a，x=b与曲线y=f(x)，y=g(x)围成的平面图形的面积

2、为S=_____________.1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)曲线y=sinx，x∈[]，与x轴围成的图形的面积为sinxdx.()(2)曲线y=x3与直线x+y=2，y=0围成的图形面积为x3dx+(2-x)dx.()(3)曲线y=3-x2与直线y=-1围成的图形面积为(4-x2)dx.()【解析】(1)错误，当x∈[π，]时，y=sinx<0，曲线y=sinx，x∈[]，与x轴围成的图形的面积为sinxdx-sinxdx.(2)正确，曲线y=x3与直线x+y=2交点为(1，1)，所以围成的图形面积为x3dx+(2-x)dx.(3)正确，曲线y

3、=3-x2与直线y=-1的交点为(-2，-1)，(2，-1)，所以围成的图形面积为[(3-x2)-(-1)]dx=(4-x2)dx.答案：(1)×(2)√(3)√2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)如图中阴影部分的面积是____________.(2)曲线y=x3与直线y=x所围成图形的面积为__________.(3)抛物线y=x2-1与x轴围成图形的面积是_________.【解析】(1)直线y=2x与抛物线y=3-x2的交点为(-3，-6)和(1，2)，设阴影部分面积为S，则S=(3-x2-2x)dx=3x-x3-x2=答案：(2)曲线y=x3与直线y=

4、x所围成图形的面积为(x-x3)dx+(x3-x)dx=2(x2-x4)=答案：(3)由得交点(-1，0)，(1，0)，则围成的图形的面积是S=

5、x2-1

6、dx=(1-x2)dx=(x-x3)=答案：【要点探究】知识点定积分在几何中的应用1.一条曲线y=f(x)和直线x=a，x=b(a

7、+S3.2.两条曲线f(x)和g(x)，直线x=a，x=b(ag(x)，曲线f(x)，g(x)，直线x=a，x=b围成的面积S=[f(x)-g(x)]dx.(2)f(x)>0，g(x)<0，面积S=[f(x)-g(x)]dx=f(x)dx+

8、g(x)

9、dx.3.对于不规则平面图形面积的处理原则定积分只能用于求曲边梯形的面积，对于非规则的曲边梯形，一般要将其分割或补形为规则的曲边梯形，再利用定积分的和与差求面积.对于分割或补形中的多边形的面积，可直接利用相关面积公式求解.【微思考】(1)当f(x)<0时，f(x)与y=0，x

10、=a，x=b围成的面积如何表示？提示：S=-f(x)dx.(2)如果x∈[a，c]，f(x)>0，x∈[c，b]，f(x)<0，那么f(x)与y=0，x=a，x=b围成的面积怎么表示？提示：S=f(x)dx-f(x)dx.【即时练】1.曲线y=cosx与直线y=0，x=，x=-围成的图形的面积为()A.cosxdxB.cosxdxC.cosxdx-cosxdxD.cosxdx-cosxdx2.曲线y=sinx与直线y=0，x=，x=-围成的图形的面积为________.3.如图曲线y=x2和直线x=0，x=1，y=所围成的图形(阴影部分)的面积为______.【解析】

11、1.选A.因为当-≤x≤时，y=cosx>0，所以曲线y=cosx与直线y=0，x=，x=-围成的图形的面积为cosxdx.2.曲线y=sinx与直线y=0，x=，x=-围成的图形的面积为S=

12、sinx

13、dx=sinxdx=2(-cosx)=2.答案：23.由于曲线y=x2(x＞0)与y=的交点为()，而曲线y=x2和直线x=0，x=1，y=所围成的图形(阴影部分)的面积为答案：【题型示范】类型一计算简单的平面图形的面积【典例1】(1)由曲线y=x2-1，直线x=0，x=2和x轴围成的封闭图形的面积(如图)是()A.(x2-1)dxB.

14、(x2-1)