《1.7.1 定积分在几何中的应用》导学案5

《《1.7.1 定积分在几何中的应用》导学案5》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、《1.7.1定积分在几何中的应用》导学案5【课标要求】1．会通过定积分求由两条或多条曲线围成的图形的面积．2．在解决问题的过程中，通过数形结合的思想方法，加深对定积分的几何意义的理解．【核心扫描】由多条曲线围成的分割型图形的面积的求解是考查的重点.自学导引曲边梯形的面积和其上、下两个边界所表示函数的关系(1)如图1，阴影部分的面积为S＝－∫0g(x)dx＋∫0f(x)dx＝∫0[f(x)－g(x)]dx.(2)如图2，阴影部分的面积为S＝∫0dx＋所以，曲边梯形的面积等于曲边梯形上、下两个边界所

2、表示的函数的差的定积分．想一想：当f(x)<0时，f(x)与x轴所围图形的面积怎样表示？提示　如图，因为曲边梯形上边界函数为g(x)＝0，下边界函数为f(x)，所以S＝∫a(0－f(x))dx＝－∫af(x)dx.名师点睛利用定积分求曲边图形面积的步骤一般来说，利用定积分求曲边图形面积的基本步骤如下：第一步：画出图形；第二步：确定图形范围，通过解方程组求出交点横坐标，确定积分上、下限；第三步，确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置；第四步，写出平面图形面积的积分表达式；第五步，运用微积

3、分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．注意：由于定积分是一种和式的极限，它可以为正，也可以为0，还可以为负．但平面图形的面积一般来说总是为正的．因此，当定积分为负值时，一定要通过取绝对值处理为正.题型一　不分割型图形面积的求解【例1】求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2所围成图形的面积．[思路探索]―→―→解　由得或所以直线y＝－x＋2与抛物线y＝x2－4的交点为(－3,5)和(2,0)，设所求图形面积为S，根据图形可得S＝∫－3[(－x＋2)－(x2－4)]dx＝∫－3(－x2－x＋6

4、)dx＝＝－＝.不分割型图形面积的求解步骤：(1)准确求出曲线的交点横坐标；(2)在坐标系中画出由曲线围成的平面区域；(3)根据图形写出能表示平面区域面积的定积分；(4)计算得所求面积．【变式1】求由曲线y＝2x－x2，y＝2x2－4x所围成的图形的面积．解　由得x1＝0，x2＝2.由图可知，所求图形的面积为S＝∫0[(2x－x2)－(2x2－4x)]dx＝∫0(－3x2＋6x)dx＝(－x3＋3x2)＝4题型二　分割型图形面积的求解【例2】求由曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成图形的面积．[

5、思路探索]可先求出曲线与直线交点的横坐标，确定积分区间，然后分段利用公式求解．解　法一　画出草图，如图所示．解方程组及得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)．所以S＝∫0dx＋∫1dx＝∫0dx＋∫1dx＝＋＝＋6－×9－2＋＝.法二　若选积分变量为y，则三个函数分别为x＝y2，x＝2－y，x＝－3y.因为它们的交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)．所以S＝∫－1[(2－y)－(－3y)]dy＋∫0[(2－y)－y2]dy＝∫－1(2＋2y)dy＋∫0(2－y－y2)dy＝(

6、2y＋y2)＋＝－(－2＋1)＋2－－＝.由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间段内位于上方或下方的函数有所变化时，可通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将积分区间进行细化区间段，然后根据图象对各个区间段分别求面积进而求和，在每个区段上被积函数均是由上减下；若积分变量选取x运算较为复杂，可以选y为积分变量，同时更改积分的上下限．【变式2】计算由曲线y2＝x，y＝x3所围成图形的面积S.解　作出曲线y2＝x，y＝x3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组得交点横坐标

7、为x＝0及x＝1.因此，所求图形的面积为S＝∫0dx－∫0x3dx＝x－x4＝－＝.题型三　定积分的综合应用【例3】设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋2.(1)求y＝f(x)的表达式；(2)求y＝f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积．审题指导[规范解答](1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.(1分)又f′(x)＝2x＋2，所以a＝1，b＝2.∴f(x)＝x2＋2x＋c.(3分)又方程f(x)＝0有两个相等实根，即

8、x2＋2x＋c＝0有两个相等实根，所以Δ＝4－4c＝0，即c＝1.(5分)故f(x)＝x2＋2x＋1.(6分)(2)画函数y＝f(x)的图象如图．由图象知所求面积为S＝∫－1(x2＋2x＋1)dx＝＝.(12分)【题后反思】由定积分求平面区域面积的方法求不规则图形的面积是一种基本的运算技能．在这种题型中往往与导数、函数的最值、不等式等相关知识进行融合．【变式3】在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成图形的面积为，试求切点A的坐标及过切点A的切线方程．解　设切点A(x