平面向量垂直与平行的应用

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1、县五中高三数学第一轮复习平面向量垂直与平行的应用[热点分析]平面向量的数量积是每年高考必考的内容，也是高考的热点之一．试题多以选择题或填空题形式出现，主要考查数量的定义、运算律、性质，同时也考查向量平行、垂直及夹角、距离问题．平面向量与解析几何、函数、三角函数等相结合的题目屡见不鲜，而2011年四川高考试题中第12题更是将平面向量数量积与概率知识融合，命题新颖，是高考命题的一个新方向．(2)若(a＋2b)⊥(ka－b)，则(a＋2b)·(ka－b)＝0，即ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝16k－16(2k－1)－

2、2×64＝0.解得k＝－7.即k＝－7时，两向量垂直．[小结]非零向量a⊥b⇔a·b＝0是非常重要的性质，它对于解决平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.[例4]设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)．(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；(2)求

3、b＋c

4、的最大值；(3)若tanαtanβ＝16，求证：a∥b.解：(1)由a与b－2c垂直，a·(b－2c)＝a·

5、b－2a·c＝0，即4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，tan(α＋β)＝2；[小结]平面向量与三角的整合，是高考命题的热点之一，它一般是根据向量的运算性质(如数量积)将向量特征转化为三角问题，三角问题是考查的主体，平面向量是载体．再现高考：小题练习：2．已知两个不共线的向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，则以下四个结论中正确的有________．(填序号)①(a＋b)⊥(a－b)②a与b的夹角为α－β③

6、a＋b

7、<2④a与b在a＋b方向上的投影相等．3．(2011·辽宁高考)若a，b

8、，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则

9、a＋b－c

10、的最大值为()A.－1B．1C.D．2