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1、巧妙建模多题归一——两点之间线段最短的应用鲁迅外国语学校寿杏娟古罗马有一位将军，他每天都要从营地A出发，到河边给马饮水，再到河岸同侧的指挥所B处开会。他经常想一个问题：应该沿怎样的路线行走才能使路程最短？请你帮他想一想，并画出最短的路线。BACPBA地位分析上题要用到的基本知识是两点之间线段最短，这是数学的基本公理，可谓人尽皆知，但一旦要运用它来解题，学生往往一脸茫然，不知从何做起。上题其实体现了数学建模思想，本质上是要培养学生灵活运用数学知识解决实际问题的能力。变式1背景为直角坐标系一束光线从y轴上的点A（0，2）出发，经过x轴上点C反射后经过点B（6，6），则光线从点A到点B所
2、经过的路程是（）A.10B.8C.6D.4AABA,DC变式2例:(08黄岩)如图,已知在等腰△ABC中,∠ABC=1200,P是底边AC上的一个动点,M、N分别是AB、BC的中点,若PM+PN的最小值为2，求△ABC的周长.M′PBACMN——背景为等腰三角形2.正方形ABCD的周长为8,点E是线段AB的中点,点P是对角线AC上的一个动点,求PE+PB的最小值。ABPCEDP变式3背景为正方形3.如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点，M、N分别是AB，BC边上的中点，PM+PN的最小值是()AMBPNDCPM,变式4背景为菱形4.在梯形ABCD中，AD∥BC，A
3、B=CD=AD=1，∠B=60°，直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一点，那么PC+PD的最小值为多少？AMPNBCD说明：此题即求AC的长。P变式5背景为等腰梯形5.如图，AB是⊙O的直径，OC是⊙O的半径，OC⊥AB，OC=1，点D在圆上，AD=2DC，点P是半径OC上的一个动点，那么AP+PD的最小值是()APBODCP变式6背景为圆xy362-2-3在反比例函数上有两点A(3,2),B(6,1)，在直线y=-x上有动点P,那么当PA+PB最小时，求P点的坐标.ABA’P变式7y=x6——背景为双曲线P例:(09衢州)如图已知点A（-4，8)和点B（2，n）在抛物线y
4、=ax2上.（1）求a的值及点B关于X轴对称点P的坐标,并在X轴上找一点Q，使得ＡＱ+ＱＢ最短，求点Ｑ的坐标；Y8642x...........-4-2024..ABＱＰ.变式五——背景为抛物线Y8642......A′(2)平移抛物线y=ax2，记平移后点Ａ的对应点为Ａ′,点Ｂ的对应点为Ｂ′，点Ｃ(-2,0)和点Ｄ(-4,0)是x轴上的两个定点．当抛物线向左平移到某个位置时，Ａ′Ｃ＋ＣＢ′最短，求此时抛物线的函数解析式；x.....-4-2024.B′.A〞Ｃ变式六例:(08成都)如图,已知点A是锐角∠MON内的一点,试分别在OM,ON上确定点B、点C，使⊿ABC的周长最小，写出
5、你作图的主要步骤并标明你所确定的点(要求画出草图,保留作图痕迹).MONAA′A〞BC——逆向应用在平面直角坐标系中，有A（3，-2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n等于多少时，AC+BC的值最小。ABCB,综合提升1如图，在直角坐标系中，有四个点A（-8，3），B（-4，5），C（0,n），D（0,m），当四边形ABCD的周长最短时的值为.说明：此题可转化为求何时BC+DC+AD最小.即当点A关于x轴对称点A，，B关于y轴的对称点B，，与D，C在同一直线上时。OA··DCB·yxCDB,A，综合提升2链接中考（2008年恩施自治州）如图,C为线段BD上一动点,分别
6、过点B、D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC、EC.已知AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x.(1)用含x的代数式表示AC＋CE的长；(2)请问点C满足什么条件时,AC＋CE的值最小?EDCBAEx8-x51C(3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式的最小值.EDCBAEx12-x32链接中考链接竞赛求代数式的最小值。说明：转化为即可EDCBAE2-xX+113F1、引导学生找到对称轴和三个点，三点在同一直线上时就是最短路线。2、以上求最短路线的问题都要求学生能把不同的问题抽象为同一类型，即构建数学模型。3、在教学中不但要培养学生一题多解的能力，还应积极培养学生多题归一
7、的能力。小结
