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《中考数学复习指导：找共性，学会多题归一》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、D找共性，学会多题归一在初屮数学教学屮，我们应教会学生做一题、懂一类、会一片，也就是帮助学生对于不同问题背景下的数学问题，能找出、归纳其本质.为此，本文以一道试题为例，谈谈如何挖掘考题的“根”.一、试题及基本解题思路试题问题背景:如图1,在四边形ABCD中，AB=AD,ZBAD=120°,ZB=ZADC=90。，E,F分别是BC,CD上的点，且ZEAF=60°,试探究图屮线段BE,之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G,使DG=BE,连结AG,先证明ABEAADG,再证明AAEF竺AAGF,可得出结论,他的结论应是.AD,ZB+ZD=180°
2、,E,F分别是眈心上的点，且zeaf*d,上述结论是否仍然成立，并说明理由.实际应用:如图3,在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥川心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以8()海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角为70°,试求吐时两舰艇7问的丽禽.解题思路(1)图中线段BE,EF,FD之间满足EF=BE+FD.(2)利用第(1)问的解题经验，进行知识迁移，很快可以发
3、现结论EF=BE+FD仍然成立•理由如下：如图4,延长CD至点G,使得DG=BE,连接AG.可以证明ABEAADG,再证AAEFAAGF,可得EF=FG=BE+FD.(3)利用第(2)问的一般结论，在四边形ABCD中，满足：①AB=ADf即一组边相等；②ZB+Z£>=180°或者一组对角互补；③在条件①中两条线段夹角的内部作ZEAF=-ZBAD,与其它两边相交于E、F,2则满足EF=BE+FD.于是，先将四边形补完整.如图5,延长AE、BF交于点G,在四边形AOBG中，根据题意，可得①满足AO=BO;②=70°+50。=120°,Z4=60°,满足ZB+ZA=1
4、80°;③ZEOF=70°,ZAOB=30°+90°+20°=140°,满足ZEOF=-ZAOB.2因此，两舰艇之间的距离为EF二+=(60+80)x1.5=210(海里).如前所述，在四边形ABCD中，满足三个条件后有EF=BE+FD,那么，该四边形结论产生的“根源”在哪里？根据折纸实验可知，如图6,G是AAEF的边BC边上任意一点，连结AG,则AG将AAEF分成AEG和AFG两个部分.作AAEG关于AE对称的对称WEB,作AAFG关于AF对称的对称MFD,形成图7;延长BE、DF交于点C,形成四边形ABCD,如图8.在图8中的四边形ABCD中，满足①AB=A
5、D；②ZB+ZD=ZAGE+ZAGF=180°;③在ZBAD内部的ZEAF=ZEAG+ZFAG=-ZBAD.根据四边形的形成过程，不2难看出EF=BE+FD.图8反过来，将图8屮的四边形ABCD进行折纸操作:将AAEB沿AE翻折到AAEG位置,然后将AD和AG重合得折痕AF.由于ZAGE+ZAGF=ZB+ZZ)=180°,因此E、G、F三点在一条直线上，故EF=EG+GF=BE+FD,结论仍然成立.特别地，当AG丄EF时，四边形ABCD仅仅将②ZB+ZD=180°改为ZB=ZD=90°,具备的结论不变.进一步可以得出这样一个结论:ACEF的周长二CB+CD,即当满
6、足等于丄ZBAD的2ZEAF在ZBAD的内部旋转时，只要与角的两边CB、CD相交，则ACEF的周长不会改变.三、搜集相关问题并逐一验证题1如图9,AABC是正三角形，ABDC是等腰三角形，BD=CD,ZBDC=120。，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB.AC边于点M、N,连结(1)探究BA/、MN、NC之间的关系，并说明理由；(2)若ABC的边长为2,求AAMW的周长.分析在四边形ABDC中，满足①BD=DC;②Z4BD二ZACD=90。；③ZMDN=-ZBDC=60°,故有：2⑴MN=BM+NC;(2)AMN的周长二AB+AC二4.C图9题2已知
7、:正方形ABCD中，ZMAN=45。,AMAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB,DC（或它们的延长线）于点M,N当ZMAN绕点A旋转到BM=DN时，易证BM十DN=MN当ZMAN绕点A旋转到BMHDN时（如图10）,线段BM,DN和MNZ间有怎样的数量关系?写出猜想，并加以证明.图10分析在正方形ABCD中，满足①=；②ZB二ZD=90°:③ZMAN='ZBAD=45。,故有MN=BM+DN.2题3如图10,正方形ABCD中有一个内接AAMN,若ZMAN=45。,AB=3,MN=2.5,求AA/NC.分析在正方形ABCD中，满足①AB=AD；②ZB=ZD=90
8、°:③ZM
