塑力5、弹塑性力学边值问题的简单实例

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1、一、假设和屈服条件§5-1梁的弹塑性弯曲对于具有两个对称轴的等截面梁，荷载作用于纵向对称平面内，可采用材料力学中梁弯曲理论的一般假设：1）、变形前垂直于梁轴的平面，在变形后仍保持为垂直于弯曲梁轴的平面，即平截面假设；2）、不计各层间的相互挤压；3）、小变形，即挠度比横截面的尺寸小得多；4）、梁跨长比横向尺寸大得多。根据上述假设，只考虑梁横截面上正应力对材料屈服的影响，用Tresca和Mises条件均为：=二、梁的纯弯曲如图所示，研究具有两个对称轴的等截面梁，设y、z为横截面的对称轴，x为梁的纵轴，xoy为弯曲平面。ZyZyh

2、/2h/2MM1、理想弹塑性材料纯弯曲时，随着弯矩M的增加，塑性变形由梁截面边缘对称地向内部发展，在梁的任一横截面上弹性区和塑性区是共存的。在弹性区，应力按线性分布；在塑性区，应力按分布；而在两者的交界处，正应力应等于屈服应力。1）对于理想弹塑性材料，在塑性区，则沿横截面高度，应力分布为：式中，（>0）为横截面的中性层到弹、塑性分界面的距离。yZ塑性区弹性区-＋2）M=M(ys)函数关系纯弯曲横截面上应力应满足轴力为零的条件由于Z为横截面的一条对称轴，上式自动满足，否则将由这个条件确定中性轴的位置，横截面上的正应力还应满足：

3、即：可以简写成：其中为弹性区对中性轴的惯性矩；为塑性区对中性轴的静矩3)、弹性极限弯矩、塑性极限弯矩此式确定M与ys的关系关于梁的绕度，对弹性区而言，有：在弹性区的边界上的处，代入上式，梁轴曲率半径为：考虑到梁的曲率与梁绕度的关系，有：则得梁轴的挠曲线方程为：取梁的横截面是高h、宽为b的矩形，则有：将他们代入则得出：即得梁刚开始产生塑性变形时的弹性极限弯矩为：如果令，即表示梁截面全部进入塑性状态，此时的弯矩称为塑性极限弯矩：而有:说明梁截面由开始屈服到全部屈服，还可以继续增加50%的承载能力，由此也可以看出按塑性设计可以充分

4、发挥材料的作用。利用和得：设与对应的曲率半径，此时，由此可得：纯弯梁屈服以后的曲率半径与弯矩M之间的关系而在屈服前，它们服从线性的弹性关系，即满足：根据屈服前屈服后绘出弯矩与曲率的变化曲线，如图所示：0123450.511.54）、卸载规律梁在达到塑性极限弯矩以后全部卸载，则在梁内存在残余应力。应用卸载定律，可以计算此残余应力。卸载过程中弯矩改变值为利用此值按弹性计算即得应力改变量为卸载前的应力为：则残余应力为：前正负号：y>0时取正，y<0取负前正负号：y>0时取正，y<0取负,残余应力沿截面高度分布情况如图所示。(a)-

5、-＋（b）-＋＝＋-2、线性强化弹塑性材料+-弹性区塑性区yZ强化阶段则有：根据平截面假设，应有：+-yZ弹性区塑性区得与的关系其中为弹性区对中性轴的惯性矩；为塑性区对中性轴的静矩为塑性区对中性轴的惯性矩；梁横截面为b×h的矩形，则有：此式为矩形截面线性强化弹塑性M与ys的关系三、梁的横力弯曲梁在横向载荷作用下的弯曲比纯弯曲复杂。采用上述的假设和屈服条件，针对纯弯曲导出的有关结果基本上适用。纯弯曲是常数横力弯曲应力只沿高度方向变化应力不仅沿高度方向变化，还沿长度方向变化弹性区高度是常数纯弯曲横力弯曲受均布载荷作用理想弹塑性材

6、料的矩形截面梁ABqAB应力分布整理一下可以得：式中：梁跨中截面开始屈服时的载荷，即梁的弹性极限载荷，可令（1）式中x＝0得：(2)式（2）表明梁中的弹塑性交界线是一双曲线。ABxyqABxyq在梁跨中截面全部进入塑性状态时，产生无限制的塑性流动，相当于在跨中安置了一个铰，称为塑性铰。塑性铰的定义：塑性铰与结构铰的区别：①、塑性铰与弯矩大小有关塑性铰的出现是因截面上的弯矩达到了塑性极限弯矩，并由此产生转动。②、结构铰处总有M=0，不能传递弯矩塑性铰的出现，使得梁成为几何可变的，丧失了继续承载的能力。此时对应的载荷称为塑性极限

7、载荷。可令（1）式中x＝0得：与弹性极限载荷相比③、结构铰为双向铰，即可以在两个方向上产生相对转动，而塑性铰处的转动方向必须与塑性极限弯矩的方向一致，所以塑性铰为单向铰；④、卸载后塑性铰消失，由于存在残余变形，结构不能恢复原状；而结构铰不变。四、梁的弹塑性挠度由前面的分析可知，按照塑性极限状态设计，梁可以充分发挥材料的潜力。以理想弹塑性材料矩形截面(b×h)梁为例，横力弯曲时仍仅考虑弯矩引起的变形.纯弯曲横力弯曲但梁是否会因变形过大而不能使用，则需要研究梁在弹塑性阶段的变形。在此阶段中，梁的变形仍受到弹性区的限制，因此塑性区

8、的变形仍处于约束变形阶段。以悬臂梁为例，设梁处于弹塑性极限状态，固定端弯矩，截面弯矩为从而有：即：OyaPlOyaP(1)弹塑性段挠度挠曲线方程式为在弹塑性段（）将上式积分。在梁刚开始进入塑性极限状态瞬时，仍采用固定端处挠度和转角为零的边界条件，得：（2）、弹性段挠度在弹性段（）OyaP挠