用傅里叶级数求自然数幂和

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1、第3O卷第4期大学数学Vo1．3O，№．42014年8月COLLEGEMATHEMATICSAug．2014用傅里叶级数求自然数幂和李卫高，李兆强(漯河医学高等专科学校，漯河462002)[摘要]为寻求自然数幂和公式新方法，借助傅里叶级数这一解析工具，通过把幂函数在[o，”]上表示为傅里叶余弦级数，经过整点赋值求和，得到了自然数幂和的一个无穷级数表达式．运用此表达式进一步建立了自然数幂和问题与zeta函数之间的联系．[关键词]自然数幂和；傅里叶级数；zeta函数[中图分类号]O17[文献标识码]C[文章编号]1672—1454(2014)04—0098—04以下记前个自然

2、数幂和为∑志一s：(，r为正整数)，A为排列数．在[o，]上，把幂函数表女=1成傅里叶余弦级数：z一詈‘一+1。sm，l眦，(1)m一其中n。一-Xrdz一·一．Jor十jr十l号a：=：。s如一J，(===1，2’⋯)．一J0c。s詈嬲妇===m-7／"jJ．oXrdsin署玎z一m，r(、zrsin丌zlo一rno．T~1Sin，2丌dz)，一一，．_!rr一·inmdz一，f_!)rrdom丌丌Jo、，竹7rJo一r()[X~Icosm丌z卜cr—I)flx~-2cosd一r()c_1)](一1)ri~r+l一—r(r一1)()Iz(-1)rnr+l一r_1)()[

3、(_1)_2)品一(r-2)(r_3)()。]一(一1)A丽7／r+l一(～1)A；弓+A()A十A州((州一斋嘶_5)(]一一A，3⋯5(一⋯+⋯+(一1)寺一AT-1一"]+(一1)-~A7()。，，一为偶数，m丌，J一+⋯+(一)]+(一)ArJ()，。，r为奇数．[收稿日期]2013—08—10[基金项目]漯河医学高等专科学校科研项目[2013一S-LMCI5]第4期李卫高，等：用傅里叶级数求自然数幂和99而L—JrcornTrxdz一一／2rdinz：=：ninzl0m7rJ0／2m丌／2fmmm~rxdz一一／2dsin一J0cosm丌J0一／2脏一丌kn—／

4、2丌z卜I0J0nmrcxd1：=：一mrsin—m嬲dz一(一／21cos嬲I一(1((一1)m一1)，7rJ0／2、m，／2lo、／T／；rr／于是+⋯+(一1)A；]I(一1)mr(优丌)。(m7f)．J’r为偶数，I，=AAI(一1)，2I丽一—(m—Tr)4+．．．+(]+(Ar()((_1)m-1)，r为奇数．为表示自然数幂和，在(1)式中依次令z=1，2，3，⋯，／2，得到一警+薹amCOSm玎一ao+nc。s詈+口zc。s+⋯+amCOSmr+⋯；2一ao+a2m一a0+口c。s+。zc。s+⋯+a2m~r+COSCOSmm⋯；3mao+口1cos塑+口2

5、cos+⋯+ncos+⋯；3=警+∑口cos丌一／2／2／2n，’l=1n0—nmOao+nlcos堕+口2cos塑堕+⋯+口cos—Fn／2—?t"+⋯口cos丌=一警+∑／27"／／2，"一1把以上7"／个等式相加，得a=no+n(c。s詈+c。s+⋯+c。s)+n(c。s+c。s+⋯+c。s2mr，)z+a3(c。s+c。s+⋯+c。s)+⋯+以(c。s+c。s+⋯+c。s)+⋯．sin(n+丢)z利用三角恒等式∑cos如=告注意当1．Zsin丢≠0时，即sin≠o)，m此时mTr1sin(+1)1sin(撕+)==一c一．2．k=l一懈晰nn．m丌1．丌、==—1

6、—n撕∞十c。撇nJ一(二：二2．懈2’n而以上无穷多括号项中Sin一0的项是===的项，即／2m一2kn，忌一1，2，3，⋯．易知这些项中每一个括号的和都等于／2，于是s：=警-al-a3-as一⋯-a2w_1+舰zn一口z井一⋯-a4n1+凇一n计·一⋯ao=一(口+口s+口s+⋯)+(口z”+nn+口en+⋯)．在(1)式中令z一0，可以得到n。+a。+ns+⋯一一等，上式可简化为1O0大学数学第3O卷s：一警++(口zn+口n+口e+⋯)，或者s===~／r+l+nr+(口：+以+口。+⋯)．(2)(2)式把自然数幂和表示为无穷级数的形式，而在计算S：上会起到什么

7、作用呢，这里计算两个例子．例1r一2，号口一(一1)。，n一(一1)，代入(2)式，sl一等+等+(+++⋯)一i~／3十T／2+(+++⋯)．利用熟知的公式1+++⋯一，得到2sl===nan_q_n一业z．例2r一3，m为偶数时，号口=(一丽Ai，口一(～，代入(2)式，sl—n4十n3+(+++⋯)一等+等+萋(+++⋯)一+譬+·6一()。．可见，在计算幂和公式时利用了级数∑；1(2愚)的和数·对一般的情形，可把s表示为以下形式．m=lr为偶数时，警一[一+．．州]，s：一讯nr+l+nr[(一+．．．+()AA!+(