傅里叶级数求等周闭曲线的面积

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1、傅里叶级数求等周闭曲线的面积　　摘要：傅里叶级数在数学、物理、工程技术、信息处理等学科中发挥着重要的作用。本文主要考虑一个几何问题，等周闭曲线的面积问题。应用傅里叶级数的方法，我们求证出等周闭曲线所围面积中圆的面积最大，并给出了最大的面积值。　　关键词：傅里叶级数;等周闭曲线;圆面积　　中图分类号：G642.0文献标志码：A文章编号：1674-9324（2016）42-0194-02　　法国数学家傅里叶发现傅里叶级数以来，关于级数理论的研究随即走向了新的里程碑。在应用方面，傅里叶级数在电力工程、

2、通信、控制领域、应用数学、物理及工业应用上都取得了辉煌的成就。本文主要给出一个傅里叶级数在几何中应用的例子，应用傅里叶级数解决等周闭曲线面积问题。通过解决实际问题，进一步理解傅里叶级数的理论知识，为傅里叶级数的更广泛的应用打下基础。　　一、预备知识　　等周闭曲线，即周长相等的闭曲线。众所周知，由等周闭曲线围成的凸图形中，圆的面积最大。这个问题早在古希腊时期就已提出。下面，我们利用数学分析中学过的傅里叶级数，证明等周闭曲线围成的凸图形中，圆的面积最大。　　设Γ6是平面内的一条闭曲线，在直角坐标系x

3、oy中，x轴把曲线分成y=f（x）和y=g（x）（0≤x≤1）两个连续的函数，且f（x）≥g（x），如下图。令Ω表示两个函数所围的区域，即：　　Ω={（x，y）：0≤x≤1，g（x）≤y≤f（x）}.　　我们知道，积分h（x）dx表示的是连续函数h（x）与x轴所围成的曲边梯形面积，那么Ω的面积为　　A=f（x）dx-g（x）dx.（1）　　定义1.若在整个数轴上　　f（x）=+（acosnx+bsinnx），　　且等式右边级数一致收敛，则有如下关系式：　　a=f（x）cosnxdx，n=0，1，

4、2…　　b=f（x）sinnxdx，n=1，2…　　定理1.如果f是以2π为周期且在[-π，π]上可积的函数，则可按公式计算出a，b，它们称为函数f的傅里叶系数，以f的傅里叶系数为系数的三角级数称为f的傅里叶级数，记作　　f（x）～+（acosnx+bsinnx）.　　定理2.应用欧拉公式e=cosx+isinx，傅里叶级数还可以写成下面的形式：f（x）=ae.　　引理1.设f（θ）是圆上的一个参数方程，且有f（θ）=ae，则有等式

5、a

6、=

7、f（θ）

8、dθ，此等式称为Parseval等式.　　二

9、、问题的证明　　假设γ（s）=（x（s），y（s）），s∈[-π，π]是曲线Γ的弧长参数方程，且对任意s∈[-π，π]，都有x′（s）+y′6（s）=m，其中m为大于零的常数，则我们有　　（x′（s）+y′（s））ds=m.（2）　　由于x（s）和y（s）是2π为周期的函数，由定理1其傅里叶级数为　　x（s）～∑ae，f（s）～∑be，g（s）～∑ce，　　由于在成立区域上一致连续，则其一阶导数为x′（s）～∑aine，f′（s）～∑bine，g′（s）～∑cine.　　将Parseval恒等式

10、带到公式（2）有　　

11、n

12、（

13、a

14、+

15、b-c

16、）=m.（3）　　由公式（1），Ω的面积为：　　A=

17、f（s）x′（s）ds-g（s）x′（s）ds

18、　　=

19、（f（s）-g（s））x′（s）ds

20、（4）　　因为x（s）和y（s）都是实值的，所以有a=，b-c=，又有

21、n

22、≤

23、n

24、，　　

25、a-（b-c）

26、≤2

27、a

28、

29、b-c

30、≤

31、a

32、+

33、b-c

34、，则由式（3）知　　A=2π

35、∑（b-c）?n

36、=2π

37、n（bn-cn）

38、　　≤π∑

39、n

40、2?2

41、a

42、

43、b-c

44、　　≤π∑

45、n

46、（

47、a

48、+

49、b-c

50、）=πm（

51、5）　　当A=πm时，要使

52、n

53、<

54、n

55、，只要n≥2即可，所以上式当且仅当n=1等号成立（此处不考虑n=0）.因此我们可得　　x（s）=ae+a+ae，　　f（s）-g（x）=（b-c）e+（b-c）+（b-c）e.　　由于x（s）和y（s）都是实值的，故有a=，b-c=.6　　从恒等式（3）我们得到2（

56、a

57、+

58、b-c

59、）=m.在由（5）式知第二个等号成立的充要条件是

60、a

61、=

62、b-c

63、，所以得到

64、a

65、=

66、b-c

67、=.　　不妨设a=e，b-c=e，事实上，m=2

68、a-（b-c）

69、，即

70、si

71、n（α-β）

72、=1，因此有α-β=，k∈Z，x（s）=a+mcos（α+s），f（s）-g（s）=（b-c）±msin（α+s），其中f（s）-g（s）的符号取决于整数k.当等号成立时，曲线Γ是一个圆：　　（x（s）-a）+（y（s）-（b-c））=m.（6）　　又由于圆必过点（0，0）和（1，0），所以有　　（0-a）2+（0-（b-c））2=m.（1-a）2+（0-（b-c））2=m.　　解得a=.　　下证b-c=0。用反证法，假设b-c≠0，则圆心为（，b-c），圆心到y轴距离为l=，半径